В импульсных устройствах задающий генератор часто вырабатывает импульсы прямоугольной формы определенной длительности и амплитуды, которые предназначаются для представления чисел и управления элементами вычислительных устройств, устройств обработки информации и др. Однако для правильного функционирования различных элементов в общем случае требуются импульсы вполне определенной формы, отличной от прямоугольной, имеющие заданные длительность и амплитуду. Вследствие этого возникает необходимость предварительно преобразовывать импульсы задающего генератора. Характер преобразования может быть разным. Так, может потребоваться изменить амплитуду или полярность, длительность задающих импульсов, осуществить их задержку во времени.

Преобразования в основном осуществляются с помощью линейных цепей - четырехполюсников, которые могут быть пассивными и актив­ными. В рассматриваемых цепях пассивные четырехполюсники не содер­жат в своем составе источников питания, активные используют энергию внутренних или внешних источников питания. С помощью линейных цепей осуществляются такие преобразования, как дифференцирование, интегрирование, укорочение импульсов, изменение амплитуды и поляр­ности, задержка импульсов во времени. Операции дифференцирования, интегрирования и укорочения импульсов выполняются соответственно дифференцирующими, интегрирующими и укорачивающими цепями. Изменение амплитуды и полярности импульса может производиться с помощью импульсного трансформатора, а задержка его во времени - линией задержки.

Интегрирующая цепь . На рис. 19.5 приведена схема простейшей цепи (пассивного четырехполюсника), с помощью которой можно выполнить операцию интегрирования входного электрического сигнала, подан­ного на зажимы 1-1 | , если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2".

Составим уравнение цепи для мгновенных значений токов и напря­жений по второму закону Кирхгофа:

Отсюда следует, что ток цепи будет изменяться по закону

Если выбрать постоянную временидостаточно большой, то вторым слагаемым в последнем уравнении можно пренебречь, тогдаi(t) = u вх (t)/R.

Напряжение на конденсаторе (на зажимах 2-2") будет равно

(19.1)

Из (19.1) видно, что цепь, приведенная на рис. 19.5, выполняет опе­рацию интегрирования входного напряжения и умножения его на коэф­фициент пропорциональности, равный обратному значению постоянной времени цепи:

Временная диаграмма выходного напряжения интегрирующей цепи при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов показана на рис. 19.6.

Дифференцирующая цепь . С помощью цепи, схема которой приведена на рис. 19.7 (пассивного четырехполюсника), можно выполнять операцию дифференцирования входного электрического сигнала, поданного на зажимы 1-1", если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2". Составим уравнение цепи для мгновенных значений тока и напряжений по второму закону Кирхгофа:

Если сопротивление R мало и членом i(t)R можно пренебречь, то ток в цепи и выходное напряжение цепи, снимаемое с R,

(19.2)

Анализируя (19.2), можно видеть, что с помощью рассматриваемой цепи выполняют операции дифференцирования входного напряжения и умножения его на коэффициент пропорциональности, равный постоян­ной времени τ = RC. Форма выходного напряжения дифференцирующей цепи при подаче на вход серии прямоугольных импульсов приведена на рис. 19.8. В этом случае теоретически выходное напряжение должно представлять собой знакопеременные импульсы бесконечно большой амплитуды и малой (близкой к нулю) длительности.

Однако вследствие различия свойств реальной и идеальной диф­ференцирующих цепей, а также конечной крутизны фронта импульса на выходе получают импульсы, амплитуда которых меньше амплитуды входного сигнала, а длительность их определяется как t и = (3 ÷ 4) τ = (3 ÷ 4)RС.

В общем случае форма выходного напряжения зависит от соотно­шения длительности импульса входного сигнала t и и постоянной вре­мени дифференцирующей цепи τ. В момент t 1 входное напряжение при­ложено к резистору R, так как напряжение на конденсаторе скачком изменяться не может. Затем напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону, а напряжение на резисторе R, т. е. выходное напряжение, снижается по экспоненциальному закону и становится рав­ным нулю в момент t 2 , когда зарядка конденсатора закончится. При малых значениях τ длительность выходного напряжения мала. Когда напряжение u BX (t) становится равным нулю, конденсатор начинает разряжаться через резистор R. Таким образом формируется импульс обратной полярности.

П
ассивные интегрирующие и дифференцирующие цепи имеют сле­дующие недостатки: обе математические операции реализуются прибли­женно, с известными погрешностями. Приходится вводить корректи­рующие звенья, которые, в свою очередь, сильно снижают амплитуду выходного импульса, т. е. без промежуточного усиления сигналов практически невозможныn-кратные дифференцирование и интегриро­вание.

Эти недостатки не свойственны активным дифференцирующему и интегрирующему устройствам. Одним из возможных способов реали­зации этих устройств является применение операционных усилителей (см. гл. 18).

Активное дифференцирующее устройство . Схема такого устройства на операционном усилителе приведена на рис. 19.9. Ко входу 1 подключен конденсатор С, а в цепь обратной связи включен резистор R oc . Так как входное сопротивление чрезвычайно велико (R вх -> ∞), то входной ток обтекает схему по пути, указанному пунктиром. С другой сторо­ны, напряжение и вхОУ в этом включении очень мало, так как К u -> ∞, поэтому потенциал точки В схемы практически равен нулю. Следовательно, ток на входе

(19.3)

Ток на выходе i(t) одновременно является зарядным током кон­денсатора С: dq= Сdu BX (t), откуда

(19.4)

Приравнивая левые части уравнений (19.3) и (19.4), можно написать -и вых (t)/R oc = С du вх (t)/dt, откуда

(19.5)

Таким образом, выходное напряжение операционного усилителя является произведением производной входного напряжения по времени, умноженной на постоянную времени τ = R ОС С.

А
ктивное интегрирующее устройство . Схема интегрирующего устройст­ва на операционном усилителе, приведенная на рис. 19.10, отличается от дифференцирующего устройства рис. 19.9 только тем, что конденсатор С и резистор R oc (на рис. 19.10 -R 1) поменялись местами. По-прежнему R вх -> ∞ и коэффициент усиления по напряжению К u -> ∞. Следовательно, в устройстве конденсатор С заряжается током i(t) =u BX (t)/R 1 . Так как напряжение на конденсаторе практически равно выходному напряжению (φ B = 0), а операционный усилитель изменяет фазу входного сигнала на выходе на угол π, имеем

(19.6)

Таким образом, выходное напряжение активного интегрирующего устройства есть произведение определенного интеграла от входного напряжения по времени на коэффициент 1/τ.

Дифференцирующие цепи используют тогда, когда требуется преобразовать напряжение заданной формы в сигнал ипых , изменяющийся по закону

где - коэффициент пропорциональности.

Простейшая дифференцирующая RС-цепь аналогична интегрирующей RС-цепи и отличается только тем, что выходное напряжения снимается не с конденсатора, а с активного сопротивления (рис. 6.19, а). Напряжение на ее выходе

Напряжение на конденсаторе .

Если т. е. -цепь успешно выполняет дифференцирование только в этом случае.

Оценим приближенно погрешность, вносимую членом , для чего продифференцируем выражение для , считая

Подставив (6.98) в (6.96), получим

Таким образом, для улучшения дифференцирования надо, чтобы

(6.100)

т. е. необходимо уменьшать постоянную времени -цепи ). Это требование противоположно требованию к интегрирующей цепи, где для точного интегрирования увеличивали постоянную времени.

Выходной сигнал в дифференцирующей цепи, так же как и в интегрирующей, уменьшается при повышении точности выполнения соответствующего преобразования. Действительно, уменьшение постоянной времени в дифференцирующей цепи приводит к уменьшению члена , вызывающего погрешность дифференцирования. При этом уровень выходного сигнала снижается пропорционально уменьшению .

При дифференцировании наибольшая погрешность получается в течение времени нарастания (или среза) импульса. Это обусловлено тем, что при этих процессах вторая производная, выражающая скорость изменения крутизны фронта (или среза), имеет наибольшее значение.

Наименьшая погрешность имеет место в те промежутки времени, в которых скорость изменения входного напряжения постоянна.

Рис. 6.19. Дифференцирующая -цепь (а) и диаграммы изменения напряжения на ее отдельных участках (б, в, г)

Выясним возможности и условия дифференцирования -цепью синусоидального изменяющегося напряжения .

При точном дифференцировании этот сигнал должен изменяться по закону

(6.101)

Таким образом, выходное напряжение должно быть сдвинуто по фазе на 90° относительно входного. В реальной RС-цепи амплитуда и фаза отличаются от соответствующих значений идеальной дифференцирующей цепи. Выходное напряжение

а фазовый угол

(6.103)

Для того чтобы иметь возможность дифференцировать синусоидально изменяющееся напряжение частотой , необходимо выполнить условие Однако при этом уменьшается и значение выходного сигнала. Поэтому приходится ограничиваться компромиссным решением, при котором выходной сигнал и фазовая погрешность не выходят за пределы допустимых значений.

Если, например, принять , то фазовая погрешность дифференцирования 14°. Такие фазовые искажения выходного сигнала в ряде случаев общего применения можно считать приемлемыми. При этом значение выходного сигнала мало зависит от , так как да 1, поэтому его можно считать близким к теоретическому.

При дифференцировании импульса активная ширина его спектра ограничена частотой . Если неравенство выполняется при , то оно будет обязательно выполняться и при . Это позволяет исходя из активной ширины спектра определить требования к постоянной времени дифференцирующей цепи:

Для грубой оценки активной ширины спектра при равных длительностях фронта и среза импульса можно использовать приближенное выражение

(6.105)

где для импульсов, у которых , т. е. для наиболее часто встречающихся.

Тогда, подставив в (6.104) значение , получим

Таким образом, постоянная времени дифференцирующей -цепи общего применения должна быть примерно в десять раз меньше активной длительности фронта дифференцируемого импульса.

При дифференцировании однополярного импульса на выходе дифференцирующей цепи образуется двухполярный импульс Следовательно, длительность выходного импульса напряжения одной какой-либо полярности меньше длительности дифференцируемого импульса и рассматриваемая цепь обеспечивает выполнение операции укорочения.

Пусть на входе RС-цепи (рис. 6.19, а) действует идеальный прямоугольный импульс, который приходит в момент времени (рис. ). При этом конденсатор С начинает заряжаться и напряжение на нем изменяется по закону

Зарядный ток , протекающий через сопротивление R, создает на выходе RС-цепи экспоненциальный импульс ивых положительной полярности, который полностью затухает до окончания действия входного импульса. После окончания входного импульса равновесие, достигнутое в цепи , нарушается. Происходит разряда конденсатора через резистор R и источник импульсов. Выходной импульс отрицательной полярности, возникающий при разрядке конденсатора, отличается от рассмотренного только полярностью.

Таким образом, при укорочении прямоугольного импульса на выходе цепи получаются экспоненциальные импульсы напряжения положительной и отрицательной полярности, высота которых равна высоте входных импульсов . Длительность выходных импульсов определяется постоянной времени . Если ее измерять на уровне , то она определяется из выражения

Иногда активную длительность импульса измеряют на уровне :

Постоянную времени дифференцирующей цепи при ее использовании для укорочения импульсов выбирают значительно большей, чем при выполнении операции точного дифференцирования.

Ее значение находят исходя из требуемой активной длительности импульса, определенной на уровне .

В реальных случаях приходится учитывать внутреннее сопротивление источника, к которому рассматриваемая цепь подключена (рис. 6.20, я). При этом характер процессов в -цепи не меняется. Однако увеличение активного сопротивления цепи приводит к возрастанию постоянной времени . Это ограничивает возможность получения коротких импульсов. Кроме того, уменьшаются зарядный и разрядный токи i конденсатора, что приводит к уменьшению выходного напряжения . Максимальное значение выходного напряжения находят из уравнения

Лабораторная работа

«Дифференцирующие и интегрирующие цепи»

Полянчев С., Коротков Р.

Цели работы: ознакомление с принципом действия, основными свойствами и параметрами дифференцирующих и интегрирующих цепей, установление условия дифференцирования и интегрирования, определение постоянной времени.

Теоретическая часть.

В радиоэлектронике и экспериментальной физике возникает необходимость преобразования формы сигналов. Часто это может быть выполнено путём их дифференцирования или интегрирования. Например, при формировании запускающих импульсов для управления работой ряда устройств импульсной техники (дифференцирующие цепи) или при выделении полезного сигнала на фоне шумов (интегрирующие цепи).

Анализ простейших цепей для дифференцирования и интегрирования сигналов

Дифференцирующей называется радиотехническая цепь, с выхода которой может сниматься сигал, пропорциональный производной от входного сигнала U вых (t) ~ dU вх (t)/dt(1)

Аналогично, для интегрирующей цепи: U вых (t) ~ òU вх (t)dt(2)

Поскольку дифференцирование и интегрирование являются линейными математическими операциями, указанные выше преобразования сигналов могут осуществляться линейными цепями, т.е. схемами, состоящими из постоянных индуктивностей, емкостей и сопротивлений.

Рассмотрим цепь с последовательно соединёнными R, C и L, на вход которой подаётся сигал U вх (t) (рис.1).

Выходной сигал в такой цепи можно снимать с любого её элемента. При этом:

U R +U C +U L = Ri(t) + 1/c òi(t)dt + L di(t)/dt = U вх (t). (3)

Очевидно, что поскольку значения U R , U C и U L определяются параметрами R, C и L, то подбором последних могут быть осуществлены ситуации, когдаU R , U C и U L существенно неодинаковы. Рассмотрим для случая цепи, в которой U L » 0 (RC – цепь).

А) U C >> U R , тогда из (3) имеем:

i(t) = C dU вх (t)/dt (4)

Отсюда следует, что напряжения на сопротивлении пропорционально производной от входного сигнала:

U R (t) = RCdU вх (t)/dt = t 0 dU вх (t)/dt. (5)

Таким образом, мы приходим к схеме дифференцирующего четырёхполюсника, показанной на рис.2, в которой выходной сигал снимается с сопротивления R.

Б) U R >> U C . В этом случае из (3) получаем: i(t) = U вх (t)/R(6) и напряжение на емкости равно:

U C = 1/RCòU вх (t)dt = 1/t 0 òU вх (t)dt. (7)

Видно, что для осуществления операции интегрирования необходимо использовать RC-цепочку в соответствии со схемой на рис.3.

Для получения как эффекта дифференцирования, так и интегрирования, сигнал надо снимать с элемента, на котором наименьшее падение напряжения. Величина U вых (t) определяется значением постоянной времени t 0 , равной RC для RC-цепочки.

Очевидно, что эффекты дифференцирования и интегрирования в общем случае отвечают, соответственно, относительно малым и большим t 0 .

Условия дифференцирования и интегрирования

Уточним теперь, как связаны условия А и Б, а также использованные выше понятия «малого» и «большого» t 0 с параметрами R, C, L и характеристиками сигнала.

Пусть входной сигнал U вх (t) обладает спектральной плотностью

Тогда при точном дифференцировании для выходного сигнала получим:

откуда следует, что коэффициент передачи идеального дифференцирующего четырёхполюсника (

Рассмотренная нами дифференцирующая цепь (рис.2) имеет коэффициент передачи:

Из сравнения (14) и (15) видно, что рассмотренная нами цепь будет тем ближе к идеальной, чем лучше выполняется условие

wt 0 << 1 (16)

Причём, для всех частот в спектре входного сигнала. Для упрощения оценки в неравенство (16) обычно подставляют максимальную частоту в спектре входного сигнала w m t 0 << 1.

Итак, чтобы продифференцировать некоторый сигнал, необходимо найти его спектральный состав и собрать RC-цепь с постоянной времени t 0 << w m -1 , где w m – максимальная частота в спектре входного сигнала.

Отметим, что для импульсных сигналов верхнюю границу полосы частот можно оценить по формуле (2) w m = 2p/t u , где t u – длительность импульса. Т.о., в этом случае условие дифференцирования запишется в виде

t 0 << t u (17)

Совершенно аналогично можно показать, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия

wt 0 >> 1 (18)

также для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой нижней. Аналогично для интегрирования импульсов длительностью t u условие интегрирования запишется в виде

t 0 << t u (19)

Из неравенств (16), (18) следует, что при заданной цепи дифференцирование осуществляется тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование – чем выше эти частоты. Чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем меньше величина выходного сигнала.

Прохождение прямоугольных импульсов через RC -цепи

В качестве примера, иллюстрирующего дифференцирование и интегрирование сигналов, рассмотрим отклик RC-цепей, показанных на рис.2 и 3, на прямоугольный импульс. Возьмём цепь, на выходе которой стоит сопротивление (рис.2), найдём осциллограмму выходного напряжения, т.е. вид U R (t). Пусть в момент времени t = 0 на входе возникает скачок напряжения U 0 (рис.4).

В этом случае для 0 < t < t u можно записать уравнение цепи в виде:

U 0 = 1/Còi(t)dt + U R (t). (17)

После дифференцирования получим

dU R /dt + U R /t 0 = 0. (18)

Поскольку ёмкость С не может зарядиться мгновенно, то для t = 0, U R = U 0 всё входное напряжение оказывается приложенным к сопротивлению. С учётом этого начального условия решение уравнения (18) запишется в виде:

Экспоненциальный спад выходного напряжения описывает процесс зарядки ёмкости через сопротивление R и соответствующее перераспределение напряжения между R и C. При этом постоянная времени t 0 характеризует скорость зарядки ёмкости и может быть интерпретирована как время, за которое напряжение U R уменьшится в е раз.

Для t 0 << t u экспоненциальная зависимость становится резче, в результате на выходе наблюдаем короткие импульсы в момент начала и окончания входного воздействия, являющиеся удовлетворительной аппроксимацией производной от входного сигнала (рис.4).

Если выходное напряжение снимается с конденсатора, то для 0 < t < t u получим:

и для t >= t u

Если цепь является интегрирующей, то выполняется неравенство t 0 >> t u , что позволяет использовать разложение экспоненты в ряд Тейлора.

ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ - устройство, предназначенное для дифференцирования по времени электрич. сигналов. Выходная реакция Д. ц. u вых (t ) связана со входным воздействием u вх (t ) соотношением , где - пост. величина, имеющая размерность времени. Различают пассивные и активные Д. ц. Пассивные Д. ц. применяют в импульсных и цифровых устройствах для укорачивания импульсов. Aктивные Д. ц. используют как дифференциаторы в аналоговых вычислит. устройствах. Простейшая пассивная Д. ц. показана на рис. 1, а . Ток через ёмкость пропорционален производной приложенного к ней напряжения . Если параметры Д. ц. выбраны т. о.,

что u c =u вх, то , a . Условие u c =u вх выполняется, если на самой верхней частоте спектра входного сигнала Вариант пассивной Д. ц. показан на рис. 1, б . При условии имеем и

Рис. 1. Схемы пассивных дифференцирующих цепей: а - ёмкостной RC; б - индуктивной RL .

Следовательно, при заданных параметрах Д. ц. дифференцирование тем точнее, чем ниже частоты, на к-рых концентрируется энергия входного сигнала. Однако чем точнее дифференцирование, тем меньше коэфф. передачи цепи и, следовательно, уровень выходного сигнала. Это противоречие устраняется в активных Д. ц., где процесс дифференцирования сочетается с процессом усиления. В активных Д. ц. используют операционные усилители (ОУ), охваченные отрицательной обратной связью (рис. 2). Входное напряжение u вх (t ) дифференцируется цепочкой, образованной последоват. соединением ёмкости С и R экв - эквивалентного сопротивления схемы между зажимами 2-2", а затем усиливается ОУ. Если подать напряжение на инвертирующий вход ОУ, то при условии, что его коэффициент усиления , , получим

Рис. 2. Схема активной дифференцирующей цепи.

Рис. 3. Прохождение импульса через дифференцирующую цепь RC: а - входной импульс, u вх =Е при ; б - напряжение на ёмкости u c (t); в - выходное напряжение .

Для сравнит. оценки активных и пассивных Д. ц. при прочих равных условиях можно использовать отношение . При прохождении через Д. ц. импульсных сигналов происходит уменьшение их длительности, отсюда понятие о Д. ц. как об укорачивающих. Временные диаграммы, иллюстрирующие прохождение импульса прямоугольной формы через пассивную Д. ц., приведены на рис. 3. Предполагается, что, источник входного напряжения характеризуется нулевым внутр. сопротивлением, а Д. ц.- отсутствием паразитных ёмкостей. Наличие внутр. сопротивления приводит к уменьшению амплитуды напряжения на входных клеммах и, следовательно, к уменьшению амплитуд выходных импульсов; наличие паразитных ёмкостей - к затягиванию процессов нарастания и спада выходных импульсов. Аналогичным укорачивающим действием обладают также активные Д. ц.

RC цепь может изменять форму сложных сигналов так, что выходная форма будет совсем не похожа на входную. Величина искажения определяется постоянной времени RC цепи. Тип искажения определяется выходной компонентой, включенной параллельно выходу. Если параллельно выходу включен резистор, то цепь называется дифференцирующей. используется в цепях синхронизации, для получения узких импульсов из прямоугольных , а также для получения переключающих импульсов и меток. Если параллельно выходу включен конденсатор, то цепь называется интегрирующей. используется в цепях формирования сигналов в радио, телевидении, радиолокаторах и в компьютерах .

На рисунке изображена дифференцирующая цепь .

Напомним, что сложные сигналы состоят из основной частоты и большого числа гармоник. Когда сложный сигнал поступает на дифференцирующую цепь, она влияет на каждую частоту по разному. Отношение емкостного сопротивления (Х с) к R для каждой гармоники различно. Это приводит к тому, что каждая гармоника сдвигается по фазе и уменьшается по амплитуде в разной степени. В результате исходная форма сигнала искажается. На рисунке показано, что происходит с сигналом прямоугольной формы, прошедшим дифференцирующую цепь.

Подобна дифференцирующей, за исключением того, что параллельно выходу включен конденсатор.

На рисунке показано, как изменяется форма прямоугольного сигнала, прошедшего интегрирующую цепь.

Другим типом цепи, изменяющим форму сигнала, является ограничитель сигнала . На рисунке показана форма сигнала на входе ограничителя: отрицательная часть входного сигнала обрезана.

Цепь ограничения может быть использована для обрезания пиков приложенного сигнала, для получения прямоугольного сигнала из синусоидального, для удаления положительных или отрицательных частей сигнала или для поддержания амплитуды входного сигнала на постоянном уровне. Диод смещен в прямом направлении и проводит ток в течение положительного полупериода входного сигнала. В течение отрицательного полупериода входного сигнала диод смещен в обратном направлении и ток не проводит. Цепь является, по существу, однополупериодным выпрямителем .

Используя напряжение смещения можно регулировать величину обрезаемого сигнала. Параллельный ограничитель может быть смещен для изменения уровня ограничения сигнала. Если необходимо ограничить сигнал и с положительной, и с отрицательной сторон, используются два смещенных диода, включенных параллельно выходу. Это позволяет получить выходной сигнал с амплитудой, не превышающей заранее определенный положительный и отрицательный уровень. При таком преобразовании выходной сигнал приобретает форму, близкую к прямоугольной. Следовательно, эта цепь называется генератором прямоугольных колебаний. На рисунке изображена другая схема ограничителя, ограничивающего сигнал как с положительной стороны, так и с отрицательной с помощью двух стабилитронов.

Выходной сигнал ограничен с двух сторон напряжениями стабилизации стабилитронов. Между этими пределами ни один стабилитрон не проводит и входной сигнал проходит на выход.

Иногда желательно изменить уровень отсчета постоянного тока для сигнала переменного тока. Уровень отсчета постоянного тока — это уровень, относительно которого измеряется сигнал переменного тока. Фиксатор может использоваться для фиксации верхнего или нижнего значения сигнала при заданном постоянном напряжении. В отличие от ограничителя сигнала, фиксатор не изменяет форму сигнала. Диодный фиксатор называют восстановителем постоянной составляющей.

Эта цепь обычно используется в радиолокаторах, телевидении, телекоммуникациях и в компьютерах. В изображенной цепи на вход подан сигнал прямоугольной формы. Назначение цепи — ограничить максимальное значение сигнала напряжением 0 вольт без изменения формы сигнала.