Рассмотрим систему с непрерывным временем, динамика кото­рой описывается некоторыми дифференциальными уравнениями. Пусть для определенности это автономная система с трехмерным фазовым пространством. Расположим в фазовом пространстве дву­мерную площадкуS и зададим на ней некоторую систему координат (X,Y). Выбор секущей поверхности в высокой степени произ­волен, но она должна размещаться так, чтобы интересующие нас фазовые траектории многократно ее пересекали и касание было бы исключено. Возьмем какую-нибудь точку (X, Y) на секущей поверхности, выпустим из нее фазовую траекторию и проследим за этой траекторией, пока не произойдет следующее ее пересече­ние с нашей площадкойS в некоторой точке (X", Y") с проходом в том же направлении. Если изменить точку старта, получится дру­гая точка-образ. Следовательно, возникает некоторое отображение секущей поверхности в себя:

Это и естьотображение последования , илиотображение Пуан­каре .

Теперь можно отвлечься от исходных дифференциальных урав­нений и сосредоточиться на анализе динамики, порождаемой ото­бражением Пуанкаре. Эта подмена объекта исследования не сопро­вождается какими-либо аппроксимациями, анализ остается точ­ным. Цена, которую приходится при этом заплатить, - это потеря информации о характере динамики в промежутки времени между последовательными пересечениями секущей поверхности, в частности, о продолжительности интервалов времени между этими пересечениями и о топологических свойствах фазовых траекто­рий. Тем не менее, сохраняется возможность анализировать мно­гие принципиальные вопросы, например, устанавливается ли в си­стеме регулярный или хаотический режим.

Найти отображение Пуанкаре для конкретных нелинейных си­стем в явном виде удается очень редко, в тех исключительных случаях, когда дифференциальные уравнения допускают аналити­ческое решение. Можно, однако, построить отображение Пуанкаре, как численный алгоритм.

Предположим, что динамическая система описывается диффе­ренциальными уравнениями

и секущая поверхность задана уравнением

Пусть, далее, мы имеем реализованную в виде компьютерной про­граммы процедуру решения системы уравнений (6.2), например, методом Рунге-Кутта. Зададим в качестве начального условия некоторую точку на секущей поверхности и будем строить реше­ние шаг за шагом разностным методом, отслеживая знак функ­цииS(x, у, z). Момент пересечения траекторией секущей поверх­ности - это момент смены знакаS.Мы можем без труда зафиксировать, между какими по номеру шагами разностного ме­тода это случится. Предположим, что это произошло между n -м и (n + 1)-м шагами, так чтоS n =S(x(nΔt), y(nΔt), z(nΔt)) и S n+1 =S(x((n+1)Δt), y((n+1)Δt), z((n+1)Δt)) имеют противо­положный знак. Остановимся и спросим, как теперь уточнить мо­мент пересечения. То, что нам на самом деле требуется, это даже не точный ответ (мы ведь все равно аппроксимировали диффе­ренциальные уравнения разностной схемой), но такой результат, который был бы согласован по точности с используемой аппрок­симацией. Изящный способ решения этой проблемы был указан Мишелем Эно и состоит в следующем. Дополним систему уравнений (6.3) еще одним соотношением, а именно,

А теперь перепишем уравнения, приняв за независимую перемен­ную S. Вводя для удобства обозначение

Возьмем значенияx, у, z, t иS, полученные на (n + 1) -м шаге, и сделаем один шаг по S, величина которого (- S n +1) (она может быть как положительной, так и отрицательной). После этогоSобратится в нуль, а полученные в результате х, у, z и t дадут как раз то, что требуется - значения динамических переменных и времени в момент пересечения траекторией поверхности S.

Алгоритм построения отображения Пуанкаре по методу Эно удобно программировать сразу как численное решение уравнений (6.6). При этом функция Н(х, у, z) полагается равной 1 до тех пор, пока выполняются «стандартные» шаги по времени, и переопреде­ляется в соответствии с (6.5), когда возникает необходимость про­извести «нестандартный» шаг по S. Поскольку в обоих случаях ис­пользуется один и тот же разностный метод, достигается желаемое согласование по точности. Хотя объем вычислений несколько уве­личивается из-за того, что количество уравнений стало больше на единицу, это компенсируется очевидными достоинствами метода.

Отдельного обсуждения требует важный для нелинейной ди­намики класс систем, задаваемых неавтономными дифференци­альными уравнениями с периодическими коэффициентами. С фи­зической точки зрения, это системы с периодическим внешним воздействием, все равно, силовым или параметрическим. Для та­ких систем процедура построения сечения Пуанкаре оказывается совсем простой.

Пусть в отсутствие периодического воздействия система имела двумерное фазовое пространство (x, y) и описывалась уравнени­ями вида , . Наличие внешнего периоди­ческого воздействия в общем случае выражается в том, что функ­ции f 1 и f 2 надо считать периодически зависящими от времени, т. е. и и записать

Введем новую переменную z, удовлетворяющую уравнению . Ясно, что автономная система с трехмерным фазовым простран­ством

эквивалентна (6.7). Для построения отображения Пуанкаре, в ка­честве секущей поверхности удобно взять плоскостьz = const(рис. 6.1б). В качестве координат на секущей плоскости можно

использовать естественные динамические переменные х и у. По­скольку поz фазовое пространство имеет периодическую струк­туру, мы можем не различать точки, отстоящие друг от друга на целое число периодов Т. Иными словами, когда изображающая точка пересекает верхнюю плоскость на рис. 6.1б, она мгновенно перескакивает на нижнюю, сохраняя те же значения координат х и у. О вспомогательной переменнойz можно забыть, ибо она не отличается от времениt, и говорить о фазовом пространстве (x, у, t).

Отображение Пуанкаре х" =F 1 (x, у), у" =F 2 (x, у) имеет про­стой смысл - оно описывает изменение динамических перемен­ных за один период внешнего воздействия. О нем иногда говорят как остробоскопическом отображении. Представьте себе, что динамика системы большую часть времени протекает в темноте и недоступна для наблюдения. Однако один раз за период внеш­него воздействия на короткий миг вспыхивает яркий свет, так что мы можем отслеживать дискретную последовательность состо­яний, отвечающую моментам вспышек. В отличие от случая авто­номных систем, численное построение стробоскопического отобра­жения Пуанкаре не вызывает никаких проблем - нужно просто всегда выбирать шаг интегрирования так, чтобы период воздей­ствия содержал целое число шагов.

Все проведенное рассмотрение очевидным образом обобщается для фазового пространства большей размерности, только вместо секущей двумерной площадки надо говорить о сечении N -мерного фазового пространства гиперповерхностью размерности N-1. То обстоятельство, что при использовании отображения Пуанкаре размерность векторов состояния, с которыми приходится рабо­тать, уменьшается на единицу, иногда очень полезно. Отображе­ние Пуанкаре вообще оказалось очень продуктивной теоретической конструкцией. Проводя рассуждения в терминах отображения Пу­анкаре, можно получать заключения очень общего характера, при­менимые и к системам, описываемым дифференциальными урав­нениями, как автономными, так и неавтономными, и к рекур­рентным отображениям - динамическим системам с дискретным временем. Замечательно, что процедура построения отображения Пуанкаре перестала быть уделом теоретиков и часто применяется как один из инструментов при экспериментальном исследовании динамики нелинейных систем.

Цель работы – освоение сечения Пуанкаре, как одного из удобных инструментов анализа нелинейной динамики систем.

Теоретическое описание

Особенности хаотической и регулярной динамики систем могут быть изучены по их фазовым траекториям в пространстве состояний М. Однако, начиная с размерности n=3, визуальный анализ траекторий, аттракторов и всего фазового портрета, как векторного поля, затруднителен. Проекции аттрактора на координатные плоскости в М мало помогают. Эффективным инструментом оказывается сечение Пуанкаре.

Известно, что дискретные динамические системы могут получаться из непрерывных путём фиксации значений в изолированные моменты времени. При этом интервалы между этими моментами не обязательно одинаковые. В теории динамических систем переход от непрерывных к дискретным системам осуществляется с помощью сечений Пуанкаре. При этом мы как бы оставляем в фазовом пространстве те точки траектории, в которых она пересекает некоторую поверхность. Таким образом, удаётся снизить размерность системы, т.к. поверхность в n-мерном пространстве имеет размерность n-1, упростить анализ динамики, т.к. системы разностных уравнений легче изучать, чем дифференциальных уравнений. Доказано, что при таком переходе сохраняются все основные свойства непрерывной системы. Поэтому анализ дискретных отображений является практичным при исследовании динамических систем.

Реализуя этот метод, мы как бы помещаем в М некоторую поверхность S (обычно плоскость) так, чтобы фазовые траектории пересекали ее под ненулевым углом. Множество точек пересечения Рi поверхности в одном направлении и называется сечением Пуанкаре. Геометрические особенности сечения определяются конфигурацией аттрактора и при удачном выборе секущих плоскостей удается "рассмотреть" всю его топологию. Мы как бы разрезаем его на слои.

Рис.4.1. Пример сечения Пуанкаре плоскостью х3=h.

Сечение и отображение Пуанкаре обладают теми же топологическими свойствами, что и породивший их поток. Например, если поток диссипативен и объёмы в фазовом пространстве сжимаются, то отображение сокращает площади на плоскости S. Аналогично, если у потока имеется аттрактор, то его структурные характеристики могут быть найдены в сечении Пуанкаре. Если аттрактор представляет собой предельный цикл, то в правильно подобранном сечении мы увидим одну периодически посещаемую точку или несколько, если эта замкнутая траектория (предельный цикл) очень извилистая. Перемещая секущую S, мы сможем изучить эту траекторию.

Квазипериодическое движение на торе, которое нелегко рассмотреть в решениях дифференциальных уравнений и в фазовом пространстве, проявится в сечении Пуанкаре замкнутыми плотными цепочками точек. Странные аттракторы, соответствующие хаотическому режиму, дадут нам в сечении канторовское множество точек, то есть нигде не плотное множество с самоподобной фрактальной структурой. Подобное множество мы видели в работе №2 – это аттрактор Эно. Однако при сильной диссипации увидеть фрактальность сложно и для подтверждения "странности" аттрактора нужно вычислять фрактальную или корреляционную размерность сечения.

Понятно, что при изучении динамической системы 4-го порядка сечение Пуанкаре даст нам трехмерное множество точек, визуализировать его мы едва ли сможем и анализ будет непрост, но все же возможен.

Мы как и раньше считаем, что фазовые траектории, стягивающиеся в аттрактор, производит диссипативная автономная динамическая система вида

Связь хронологически соседних точек сечения Пуанкаре, т.е. непрерывное отображением плоскости S на себя

Pi+1=Ф(Pi) , i=1,2,… (4.2)

(x1i, x2i,…,xn-1,i) = xi определяются системой разностных уравнений

x1,i+1=j1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

x2,i+1=j2(x1i,x2i,…,xn-1,i)

xn-1,i+1=jn-1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

Cистема (4.2) и ее скалярный вид (4.3) называются отображением Пуанкаре. Обратите внимание на то, что интервалы времени между появлениями точек Pi в сечении не одинаковы. Иногда применяют особые сечения Пуанкаре, обеспечивающие постоянный интервал времени между появлением точек сечения (стробоскоп). При этом интервал обычно равен периоду какого-то внешнего воздействия в неавтономных системах. Можно считать, что все разностные аппроксимации непрерывных динамических систем являются некоторыми отображениями Пуанкаре.

Уравнение поверхности в фазовом пространстве как бы задает условия связи переменных, и мы фиксируем лишь те точки траекторий, которые удовлетворяют этим условиям. Особый интерес могут представлять условия экстремума какого-либо из состояний, некоторые технологические условия, уравнения баланса, имеющие конкретный физический смысл и т.п.

Например, условие экстремума состояния x2 в системе (3.3) таково

x2 +20x3 –x1 x3 = 0.

Чтобы средствами программы ODE сформировать такую секущую поверхность, введем дополнительную переменную z = x1 x3 и сформируем дополнительное уравнение

Решая совместно все четыре уравнения в режиме сечения Пуанкаре, получаем нужные нам точки экстремума (только максимумы или только минимумы в зависимости от начальных условий). Секущая Пуанкаре такова x2 +20x3 – z = 0. На рис. 4.2 представлен вид панели ODE для моделирования соответствующего сечения аттрактора системы (3.3).

Рис. 4.2. Панель управления программы ODE.

Кроме визуального анализа сечений, который затруднен в случай нелинейных секущих поверхностей, программа ODE позволяет увидеть связь текущих координат точек сечения с предыдущими. В режиме “n/(n+k)” можно вывести на экран зависимость последующего экстремума от предыдущего, скажем,

Вид этой зависимости может нам позволить выявить детерминированность в хаосе флуктуаций x2(t). На рис. 4.3 показаны результаты такого анализа.

Метод сечений Пуанкаре упрощает исследование непрерывных потоков по трем причинам. Во-первых, мы переходим от потока в R3 к отображению на плоскости, понижая тем самым число координат на единицу. Во-вторых, время дискретизуется, и дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями отображений Пуанкаре (4.3). Наконец, в-третьих, резко сокращается число данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.

Рис.4.3. Отображение Пуанкаре (вверху) экстремальных точек решения x2(t) (внизу) системы (3.3).

Порядок проведения лабораторной работы.

Включить программу ODE.

Используя режим сечения Пуанкаре, найти разные сечения для аттрактора в виде тора в трехмерном пространстве (файл TOR3.ode) (уравнение секущей плоскости задавать в форме Гессе).

Найти сечения и отображения Пуанкаре для аттракторов Ресслера и Лоренца, соответствующих экстремальным точкам первой координаты этих систем.

Провести ряд параллельных сечений аттрактора Кислова-Дмитриева, с целью изучения его топологии. Проверить влияние параметров системы на форму аттрактора. Попытаться вскрыть фрактальную структуру аттрактора путем увеличения небольшого фрагмента сечения Пуанкаре при большом количестве точек в решении системы уравнений.

Повторить пункт 4 для системы, заданной преподавателем.

Контрольные вопросы

Как, используя программу ОDE, построить сечение и отображение Пуанкаре?

Как построить сечение и отображение Пуанкаре для фиксации точек максимума и минимума одного из решений системы?

Как использовать программу ODE для увеличения нужного фрагмента сечения?

Как осуществлять нужный поворот осей для проектирования сечения на координатные плоскости?

Когда экспериментатор не располагает естественными часами системы, подобными периодическому возбуждению, для получения отображения Пуанкаре приходится применять более сложные методы (см. также ).

Пусть движение представлено траекторией в трехмерном пространстве с координатами (x,y,z). Для построения отображения Пуанкаре мы пересекаем траекторию плоскостью, уравнение которой имеет вид

как показано на рис. 4.11. Отображение Пуанкаре состоит из тех точек этой плоскости, в которых траектория проходит сквозь нее с определенной стороны (т.е. если мы определим лицевую и заднюю стороны плоскости (4.6.3), то следует фиксировать только те точки траектории, в которых она проходит с лица на обратную сторону, или наоборот, но не в обоих направлениях).

В эксперименте это можно сделать с помощью механического или электронного индикатора уровня. Примеры отображений Пуанкаре, построенных по положению, обсуждаются ниже.

В случае осциллятора с соударениями, изображенного на рис. 4.12, имеются три удобные переменные, описывающие его состояние: координата х, скорость v, а также фаза возбуждающего сигнала . Если измерения проводятся в том положении, когда масса наталкивается на упругий ограничитель, то отображение Пуанкаре составляется набором значений , где - скорости до или после соударения, - момент времени соударения.

Рис. 4.11. Сечение Пуанкаре общего положения для движения динамической системы третьего порядка.

Рис. 4.12. Схематическое изображение экспериментальной установки для построения течения Пуанкаре по положению.

В этом случае точки отображения можно откладывать в цилиндрическом пространстве с .

На рис. 4.12 показан пример экспериментальной установки для получения отображения Пуанкаре для . Когда масса наталкивается на ограничитель движения, тензодатчик или акселерометр выдают резкий сигнал. Этот сигнал можно использовать для включения устройства запоминания данных (подобного запоминающему или цифровому осциллографу), которое запоминает значение скорости тела. (В случае, показанном на рис. 4.12, для измерения положения используется линейный дифференциальный трансформатор, и его сигнал дифференцируется электронным устройством для получения скорости.)

Рис. 4.13. Отображение Пуанкаре, построенное по положению осциллирующей массы с упругими ограничителями движения (см. рис. 4.12).

Для определения фазы , изменяющейся между 0 и мы генерировали периодический пилообразный сигнал, находящийся в фазе с сигналом возбуждения, причем минимальное нулевое значение соответствовало а максимальное напряжение - . Генерируемый столкновением резкий импульс напряжения используется для включения запоминающего устройства, которое фиксирует значение пилообразного напряжения, а также величину скорости до или после удара. Отображение Пуанкаре для массы, отскакивающей от двух упругих стенок, которое получено с помощью техники , показано на рис. 4.13.

Еще один пример установки такого же типа для построения отображения Пуанкаре хаотических вибраций двигателя показан на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Схема экспериментальной установки для получения отображений Пуанкаре по положению для периодически возбуждаемого ротора с нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота.

В этом примере двигатель характеризуется нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота, которое создается постоянным током в одном из полюсов статора, а ротор с постоянным магнитом вращается благодаря синусоидальному моменту, который создается переменным током в соседней катушке. Это устройство описывается уравнением

Для получения отображения Пуанкаре мы выбрали плоскость в трехмерном пространстве , на которой (рис. 4.14). Экспериментально это осуществляется с помощью щели в тонком диске, насаженном на ось ротора, и светодиода с детектором, которые генерируют импульс напряжения каждый раз, когда ротор пересекает плоскость (см. рис. 4.14). Затем этот импульс используется для регистрации скорости и фиксирования времени. Полученные данные можно вывести непосредственно на запоминающий осциллограф или же с помощью компьтютера их можно перевести в полярные координаты, как показано на рис. 4.15.

Рис. 4. 15. Отображение Пуанкаре, построенное по положению для хаотического режима нелинейного ротатора (см. рис. 4.14).