Говоря о геометрических телах на первом уроке геометрии, необходимо указать такие их виды, которые будут изучаться в курсе математики - это куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины уже известны школьникам, а какие - не известны. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки .

Желательно, чтобы ученики на моделях этих тел показали поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно напомнить термины «грань», «ребро», «вершина».

Можно выполнить серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и других тел, поместить данные в таблицу. Интересно сопоставить число граней, вершин, ребер куба и прямоугольного, прямого наклонного параллелепипедов (термины не сообщаются). Поможет сделать правильный вывод модель куба, у которой вертикальные ребра сделаны из резинок. В руках учителя модель трансформируется из куба в прямоугольный, затем в наклонный параллелепипед .

Рассмотрим некоторые примеры использования пространственных объектных моделей на уроках планиметрии в 7-9-ых классах средней школы (табл. 2).

Таблица 2. Примеры использования пространственных моделей на уроках планиметрии

Тема урока		Методика применения
Понятие плоской и пространственной фигуры	Куб, цилиндр, шар и другие	Намечаем мелом на моделях геометрических тел различные плоские и пространственные фигуры. Полезно модели этих фигур изготовить из проволоки: окружность и спираль (кривые на цилиндре), квадрат и пространственная ломаная линия из ребер куба и т. п.
Понятие равных и неравных отрезков	Куб, параллелепипед, призма, пирамида	Исследуем, какие отрезки равны, какие не равны на различных моделях пространственных тел
Понятия окружность и круг	Шар, цилиндр, конус, яблоко, стакан с водой	Сопоставляем плоские кривые замкнутые линии и пространственные. Можно задать такой вопрос: «В чем сходство и различие между плоскими и пространственными замкнутыми кривыми на шаре?». Доступен пониманию учащихся показ кругов и окружностей на сечениях шара, цилиндра и конуса. Сечение можно показать наглядно, разрезав яблоко ножом; сечения различной формы получим, налив в стакан цилиндрической формы воду и постепенно наклоняя его. Показав сечение цилиндра в форме эллипса, учитель обращает внимание учащихся, что эту фигуру, которую мы чертим, изображая на плоскости чертежа основание цилиндра или конуса. Дело в том, что если круг наблюдать под разными углами зрения (показывает), то он меняет свою форму от «круглой» до «приплюснутой». Это можно использовать на уроке изучения формы эллипса.
Ломанные и многоугольники	Каркасные или стеклянные модели конуса и цилиндра	При изучении необходимо обратить внимание учащихся на то, что, пересекая плоскостью конус и цилиндр, можем получить в сечении не только кривые линии, но и ломаные. Демонстрируем соответствующие модели с выделенными на них сечениями.
Понятие многоугольника	Пирамиды различных видов	Рассматривая пирамиды, ученики делают вывод, что основание этих тел может являться треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т. д. (отсюда соответственно и названия: треугольная, четырехугольная, пятиугольная пирамиды). Зато боковые грани пирамид всегда имеют форму треугольников, подобное иллюстрируется на многогранниках.
Понятие угла	Разные виды пирамид и призм	Рассматриваем различные углы на моделях, подсчитываем, сколько углов сходится в вершинах этих тел, находим на моделях тупые, прямые и острые углы.
Понятие треугольника	Правильные и неправильные пирамиды, треугольная призма. Во избежание недоразумений правильные и неправильные пирамиды должны отличаться цветом	Виды треугольников хорошо иллюстрируются на пирамидах и треугольных призмах. Приложение понятий равнобедренный треугольник, равные стороны, равные углы к изучению особенностей правильных и неправильных пирамид позволяет моделировать своеобразный естественнонаучный метод исследования. Напомним, что ученикам неизвестны определения правильных и неправильных пирамид. Эти названия учитель сообщил им методом показа: «Вот эта группа тел, правильные пирамиды, а вот эта неправильные». Уже в процессе измерения размеров пирамиды и определения формы их граней учащиеся находят общие признаки пирамид: в основании лежит многоугольник, боковые грани - треугольники, сходящиеся в одной общей вершине. Затем находятся признаки, которые отличают правильную пирамиду от неправильной. Конечно, сводить результаты наблюдений в одну таблицу нет необходимости. Коллективное подведение итогов может быть организовано так. По вызову учителя ученики сообщают классу о результатах своих измерений (сначала в отношении правильных пирамид, затем неправильных). После нескольких ответов учитель спрашивает, каковы общие черты одноименных пирамид. Опрос продолжается. После двух, трех ответов школьники делают вывод: правильные пирамиды обладают следующими общими свойствами: у них боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники, а в основании лежит многоугольник с равными сторонами и равными углами. В «спорных» случаях измерение повторяется вновь. Рассматриваем точно так же результаты измерений неправильных пирамид. Выясняется, что равнобедренная форма граней, равенство сторон основания и равенство углов основания также могут наблюдаться у неправильных пирамид. (Правда, не одновременно), но эти признаки не являются обязательными для каждой такой пирамиды .
Понятие треугольника	Каркасные модели куба, параллелепипеда	Можно рассматривать сечения треугольной формы куба, параллелепипеда. При этом, кроме иллюстраций планиметрических понятий и опознания планиметрических объектов на стереометрических моделях, они могут быть использованы как своеобразные объемные чертежи к планиметрическим задачам. В самом деле, любой чертеж, помещенный в задачнике, можно показать в виде соответствующей грани или разреза стереометрической модели.
Понятие параллелограмма	Куб, прямоугольный параллелепипед, прямой и наклонный параллелепипеды	При изучении учитель демонстрирует параллелепипед и задает вопросы: «Являются ли параллелограммами грани модели параллелепипеда?», «Как показать, что противоположные ребра параллелепипеда, лежащие на одной грани, параллельны?» т. д. При изучении темы «Частные виды параллелограмма» (прямоугольник, ромб, квадрат) учитель на этих уроках демонстрирует объемные наглядные пособия, на которых ученики наблюдают эти фигуры на телах и их сечениях. Путем измерений выясняется, чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда, а этот последний - от прямого и наклонного параллелепипедов.
Понятие трапеции	Усеченная пирамида	При помощи усеченной пирамиды, а также рассматривая трапециевидные сечения стереометрических тел. Задание доказать, что какое-то сечение или грань усеченной пирамиды имеют форму трапеции, приводит учеников к необходимости найти признак трапеции. Весьма удобны на стереометрических моделях практические работы, связанные с непосредственным измерением элементов плоской фигуры, например вычисление площади у трапеции.

Очевидно, описанный здесь наглядно-интуитивный выход в пространство при изучении курса планиметрии может сопровождаться также обобщением некоторых вводимых понятий. На это уйдет не очень много времени.

Итак, используя стереометрические модели и их разрезы для изучения элементов планиметрии, мы достигаем сразу нескольких целей, главными из которых являются :

• 1) обеспечение всестороннего, более глубокого понимания планиметрических зависимостей;
• 2) развитие пространственны представлений учащихся при изучении планиметрии;
• 3) применение знаний по планиметрии при решении пространственных задач, т.е. сближение обучения с возможными приложениями в жизни;
• 4) приложение измерительных и конструктивных навыков к естественнонаучным методам изучения особенностей пространственных фигур;
• 5) подготовка к изучению систематического курса стереометрии.

Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного использования геометрических моделей постоянной формы. Однако такие модели в настоящее время не могут полностью удовлетворять современным требованиям методики преподавания геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометрические преобразования прочно вошли в курс элементарной геометрии. Возникает необходимость при изучении геометрии вводить подвижные наглядные пособия, окружающие идею движения в геометрии.

Динамический объект - это физическое тело, техническое устройство или процесс, имеющее входы, точки возможного приложения внешних воздействий, и воспринимающие эти воздействия, и выходы, точки, значения физических величин в которых характеризуют состояние объекта. Объект способен реагировать на внешние воздействия изменением своего внутреннего состояния и выходных величин, характеризующих его состояние. Воздействие на объект, и его реакция в общем случае изменяются с течением времени, они наблюдаемы, т.е. могут быть измерены соответствующими приборами. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов.

Если вчитаться и вдуматься в приведенное выше нестрогое определение, можно увидеть, что отдельно динамический объект в "чистом" виде, как вещь в себе, не существует: для описания объекта модель должна содержать еще и 4 источника воздействий (генераторы):

Среду и механизм подачи на него этих воздействий

Объект должен иметь протяженность в пространств

Функционировать во времени

В модели должны быть измерительные устройства.

Воздействием на объект может быть некоторая физическая величина: сила, температура, давление, электрическое напряжение и другие физические величины или совокупность нескольких величин, а реакцией, откликом объекта на воздействие, может быть движение в пространстве, например смещение или скорость, изменение температуры, силы тока и др.

Для линейных моделей динамических объектов справедлив принцип суперпозиции (наложения), т.е. реакция на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а масштабному изменению воздействия соответствует пропорциональное изменение реакции на него. Одно воздействие может быть приложено к нескольким объектам или нескольким элементам объекта.

Понятие динамический объект содержит и выражает причинно-следственную связь между воздействием на него и его реакцией. Например, между силой, приложенной к массивному телу, и его положением и движением, между электрическим напряжением, приложенным к элементу, и током, протекающим в нем.

В общем случае динамические объекты являются нелинейными, в том числе они могут обладать и дискретностью, например, изменять быстро структуру при достижении воздействием некоторого уровня. Но обычно большую часть времени функционирования динамические объекты непрерывны во времени и при малых сигналах они линейны. Поэтому ниже основное внимание будет уделено именно линейным непрерывным динамическим объектам.

Пример непрерывности: автомобиль, двигающийся по дороге - непрерывно функционирующий во времени объект, его положение зависит от времени непрерывно. Значительную часть времени автомобиль может рассматриваться как линейный объект, объект, функционирующий в линейном режиме. И только при авариях, столкновениях, когда, например, автомобиль разрушается, требуется описание его как нелинейного объекта.

Линейность и непрерывность во времени выходной величины объекта просто удобный частный, но важный случай, позволяющий достаточно просто рассмотреть значительное число свойств динамического объекта.

С другой стороны, если объект характеризуется процессами, протекающими в разных масштабах времени, то во многих случаях допустимо и полезно заменить наибыстрейшие процессы их дискретным во времени изменением.

Настоящая работа посвящена, прежде всего, линейным моделям динамических объектов при детерминированных воздействиях. Гладкие детерминированные воздействия произвольного вида могут быть генерированы путем дискретного, сравнительно редкого аддитивного действия на младшие производные воздействия дозированными дельта - функциями. Такие модели состоятельны при сравнительно малых воздействиях для весьма широкого класса реальных объектов. Например, именно так формируются сигналы управления в компьютерных играх, имитирующих управление автомобилем или самолетом с клавиатуры. Случайные воздействия пока остаются за рамками рассмотрения.

Состоятельность линейной модели динамического объекта определяется, в частности тем, что является ли его выходная величина достаточно гладкой, т.е. является ли она и несколько ее младших производных по времени непрерывными. Дело в том, что выходные величины реальных объектов изменяются достаточно плавно во времени. Например, самолет не может мгновенно переместиться из одной точки пространства в другую. Более того он, как и любое массивное тело, не может скачком изменить свою скорость, на это потребовалась бы бесконечная мощность. Но ускорение самолета или автомобиля может изменяться скачком.

Понятие динамический объект вовсе не всесторонне определяет физический объект. Например, описание автомобиля как динамического объекта позволяет ответить на вопросы, как быстро он разгоняется и тормозит, как плавно двигается по неровной дороге и кочкам, какие воздействия будут испытывать водитель и пассажиры машины при движении по дороге, на какую гору он может подняться и т.п. Но в такой модели безразлично, какой цвет у автомобиля, не важна его цена и др., постольку, они не влияют на разгон автомобиля. Модель должна отражать главные с точки зрения некоторого критерия или совокупности критериев свойства моделируемого объекта и пренебрегать второстепенными его свойствами. Иначе она будет чрезмерно сложной, что затруднит анализ интересующих исследователя свойств.

С дугой стороны, если исследователя интересует именно изменение во времени цвета автомобиля, вызываемое различными факторами, например солнечным светом или старением, то и для этого случая может быть составлено и решено соответствующее дифференциальное уравнение.

Реальные объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействия от некоторого источника, но и сами воздействуют на этот источник, противодействуют ему. Выходная величина объекта управления во многих случаях является входной для другого, последующего динамического объекта, которая также, в свою очередь, может влиять на режим работы объекта. Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

Часто, при решении многих задач, рассматривается поведение динамического объекта только во времени, а его пространственные характеристики, в случаях, если они непосредственно не интересуют исследователя, не рассматриваются и не учитываются, за исключением упрощенного учета задержки сигнала, которая может быть обусловлена временем распространения воздействия в пространстве от источника к приемнику.

Динамические объекты описываются дифференциальными уравнениями (системой дифференциальных уравнений). Во многих практически важных случаях это линейное, обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) или система ОДУ. Многообразие видов динамических объектов определяет высокую значимость дифференциальных уравнений как универсального математического аппарата их описания, позволяющего проводить теоретические исследования (анализ) этих объектов и на основе такого анализа конструировать модели и строить полезные для людей системы, приборы и устройства, объяснять устройство окружающего нас мира, по крайней мере, в масштабах макромира (не микро- и не мега-).

Модель динамического объекта состоятельна, если она адекватна, соответствует реальному динамическому объекту. Это соответствие ограничивается некоторой пространственно-временной областью и диапазоном воздействий.

Модель динамического объекта реализуема, если можно построить реальный объект, поведение которого под влиянием воздействий в некоторой пространственно-временной области и при некотором классе и диапазоне входных воздействий соответствует поведению модели.

Широта классов, многообразие структур динамических объектов может вызвать предположение, что все они вместе обладают неисчислимым набором свойств. Однако попытка охватить и понять эти свойства, и принципы работы динамических объектов, во всем их многообразии вовсе не столь безнадежна.

Дело в том, что если динамические объекты адекватно описываются дифференциальными уравнениями, а это именно так, то совокупность свойств, характеризующих динамический объект любого рода, определяется совокупностью свойств характеризующих его дифференциальное уравнение. Можно утверждать что, по крайней мере, для линейных объектов таких основных свойств существует довольно ограниченное и сравнительно небольшое число, а поэтому ограничен и набор основных свойств динамических объектов. Опираясь на эти свойства и комбинируя элементы, обладающие ими, можно построить динамические объекты с самыми разнообразными характеристиками.

Итак, основные свойства динамических объектов выведены теоретически из их дифференциальных уравнений и соотнесены с поведением соответствующих реальных объектов.

Динамический объект - это объект, воспринимающий изменяющиеся во времени внешние воздействия и реагирующий на них изменением выходной величины. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов. Иерархия объектов ограничена снизу простейшими моделями и опирается на их свойства.

Воздействием на объект, как и его реакцией, являются физические, измеряемые величины, это может быть и совокупность физических величин, математически описываемая векторами.

При описании динамических объектов с помощью дифференциальных уравнений неявно предполагается, что каждый элемент динамического объекта получает и расходует столько энергии (такую мощность), сколько ему требуется для нормальной работы в соответствии с его назначением по отклику на поступающие воздействия. Часть этой энергии объект может получать от входного воздействия и это описывается дифференциальным уравнением явно, другая часть может поступать от сторонних источников и в дифференциальном уравнении не фигурировать. Такой подход существенно упрощает анализ модели, не искажая свойств элементов и всего объекта. При необходимости процесс обмена энергией с внешней средой может быть подробно описан в явной форме и это будут также дифференциальные и алгебраические уравнения.

В некоторых частных случаях источником всей энергии (мощности) для выходного сигнала объекта является входное воздействие: рычаг, разгон массивного тела силой, пассивная электрическая цепь и др.

В общем случае воздействие может рассматриваться как управляющее потоками энергии для получения необходимой мощности выходного сигнала: усилитель синусоидального сигнала, просто идеальный усилитель и др.

Динамические объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействие от его источника, но и сами воздействуют на этот

До последнего времени географические факторы, оказывающие существенно важное влияние на распространение заболеваний, исследовались сравнительно мало. Справедливость предположения об однородном перемешивании населения в небольшом городе или деревне уже давно ставилась под сомнение, хотя вполне допустимо в качестве первого приближения принять, что перемещения источников инфекции носят случайный характер и во многом напоминают движение частиц в коллоидном растворе. Тем не менее необходимо, конечно, иметь некоторое представление о том, к какому эффекту может привести наличие большого числа восприимчивых индивидуумов в пунктах, удаленных на довольно большие расстояния от любого данного источника инфекции.

В детерминистской модели, принадлежащей Д. Кендаллу, предполагается существование бесконечного двумерного континуума популяции, в которой на единицу площади приходится о индивидуумов. Рассмотрим область , окружающую точку Р, и допустим, что числа восприимчивых, зараженных и удаленных из коллектива индивидуумов равны соответственно . Величины х, у и z могут быть функциями времени и положения, однако их сумма должна равняться единице. Основные уравнения движения, аналогичные системе (9.18), имеют вид

где - пространственно взвешенное среднее значение

Пусть и - постоянные, - элемент площади, окружающий точку Q, и - неотрицательный весовой коэффициент.

Допустим, что начальная концентрация заболеваний равномерно распределена в некоторой небольшой области, окружающей первоначальный очаг. Заметим также, что в произведение Роху в явном виде введен множитель о, с тем чтобы скорость распространения инфекции оставалась независимой от плотности популяции. Если бы у оставалось постоянным на плоскости, то интеграл (9.53) наверняка сходился бы. В этом случае удобно было бы потребовать, чтобы

Описанная модель позволяет довольно далеко продвинуть математические исследования. Можно показать (с одной-двумя оговорками), что пандемия охватит всю плоскость в том и только в том случае, если плотность популяции превышает пороговое значение . Если пандемия возникла, то ее интенсивность определяется единственным положительным корнем уравнения

Смысл этого выражения состоит в том, что доля индивидуумов, заболевающих в конце концов в любой области, как бы далеко она ни отстояла от первоначального эпидемического очага, будет не меньше?. Очевидно, что эта теорема Кендалла о пороге пандемии аналогична пороговой теореме Кермака и Мак-Кендрика, в которой пространственный фактор не учитывался.

Можно также построить модель для следующего частного случая. Пусть х и у - пространственные плотности восприимчивых и зараженных индивидуумов соответственно. Если считать инфекцию локальной и изотропной, то нетрудно показать, что уравнения, соответствующие первым двум уравнениям системы (9.18), можно записать в виде

где не пространственные координаты] и

Для начального периода, когда можно приближенно считать постоянной величиной, второе уравнение системы (9.56) примет вид

Это стандартное уравнение диффузии, решение которого имеет вид

где постоянная С зависит от начальных условий.

Общее число зараженных индивидуумов, находящихся вне круга радиусом R, равно

Следовательно,

и если , то . Радиус соответствующий какому-либо выбранному значению растет со скоростью . Эту величину можно рассматривать как скорость распространения эпидемии, и ее предельное значение для больших t равно . В одном из случаев эпидемии кори в Глазго в течение почти полугода скорость распространения составляла около 135 м в неделю.

Уравнения (9.56) легко видоизменить так, чтобы была учтена миграция восприимчивых и зараженных индивидуумов, а также появление новых восприимчивых индивидуумов. Как и в случае повторяющихся эпидемий, рассмотренных в разд. 9.4, здесь возможно равновесное решение, однако небольшие колебания затухают столь же быстро или даже быстрее, чем в непространственной модели. Таким образом, ясно, что в данном случае детерминистский подход имеет определенные ограничения. В принципе следовало бы, конечно, предпочесть стохастические модели, но обычно анализ их сопряжен с огромными трудностями, во всяком случае если он проводится чисто математическим путем.

Было выполнено несколько работ по моделированию этих процессов. Так, Бартлетт использовал ЭВМ для изучения нескольких последовательных искусственных эпидемий. Пространственный фактор был учтен введением сетки ячеек . Внутри каждой ячейки использовались типичные непространственные модели для непрерывного или дискретного времени и допускалась случайная миграция зараженных индивидуумов между ячейками, имеющими общую границу. Была получена информация о критическом объеме популяции, ниже которого происходит затухание эпидемического процесса. Основные параметры модели были получены на основе фактических эпидемиологических и демографических данных.

Недавно автор этой книги предпринял ряд аналогичных исследований, в которых была сделана попытка построить пространственное обобщение стохастических моделей для простого и общего случаев, рассмотренных в разд. 9.2 и 9.3. Допустим, что имеется квадратная решетка, каждый узел которой занят одним восприимчивым индивидуумом. В центре квадрата помещается источник инфекции и рассматривается такой процесс цепочечно-биномиального типа для дискретного времени, в котором опасности заражения подвергаются только индивидуумы, непосредственно примыкающие к какому-либо источнику инфекции. Это могут быть либо только четыре ближайших соседа (схема 1), либо также индивидуумы, расположенные по диагонали (схема 2); во втором случае всего будет восемь индивидуумов, лежащих на сторонах квадрата, центр которого занимает источник инфекции.

Очевидно, что выбор схемы произволен, однако в нашей работе использовалось последнее расположение.

Сначала была рассмотрена простая эпидемия без случаев выздоровления. Для удобства использовалась решетка ограниченного размера, и информация о состоянии каждого индивидуума (т. е. восприимчив ли он к инфекции или является ее источником) хранилась в вычислительной машине. В процессе моделирования проводилась текущая запись изменений состояния всех индивидуумов и подсчитывалось общее число новых случаев заболевания во всех квадратах с первоначальным источником инфекции в центре. В памяти машины фиксировались также текущие значения суммы и суммы квадратов числа случаев. Это позволило довольно легко вычислить средние значения и средние квадратические ошибки. Детали этого исследования будут опубликованы в отдельной статье, а здесь мы отметим лишь одну-две частные особенности этой работы. Например, ясно, что при очень высокой вероятности достаточного контакта будет иметь место почти детерминированное распространение эпидемии, при котором на каждом новом этапе развития эпидемии будет добавляться новый квадрат с источниками инфекции.

При меньших вероятностях будет иметь место действительно стохастическое распространение эпидемии. Так как каждый источник инфекции может заразить только восемь своих ближайших соседей, а не всю популяцию, то можно ожидать, что эпидемическая кривая для всей решетки будет возрастать не столь резко, как при однородном перемешивании всей популяции. Этот прогноз действительно оправдывается, и число новых случаев увеличивается с течением времени более или менее линейно до тех пор, пока не начнут сказываться краевые эффекты (поскольку решетка имеет ограниченную протяженность).

Таблица 9. Пространственная стохастическая модель простой эпидемии, построенная на решетке 21x21

В табл. 9 приведены результаты, полученные для решетки при наличии одного исходного источника инфекции и вероятности достаточного контакта, равной 0,6. Можно видеть, что между первым и десятым этапами эпидемии среднее число новых случаев каждый раз увеличивается примерно на 7,5. После этого начинает преобладать краевой эффект, и эпидемическая кривая резко падает вниз.

Можно также определить среднее число новых случаев для любой данной точки решетки и найти таким образом эпидемическую кривую для этой точки. Удобно проводить усреднение по всем точкам, лежащим на границе квадрата, в центре которого находится источник инфекции, хотя симметрия в этом случае не будет полной. Сравнение результатов для квадратов различного размера дает картину эпидемической волны, движущейся от первоначального источника инфекции.

Здесь мы имеем последовательность распределений, моды которых увеличиваются в линейной прогрессии, а дисперсия непрерывно возрастает.

Было также выполнено более детальное исследование эпидемии общего типа с удалением зараженных индивидуумов. Безусловно, все это очень упрощенные модели. Однако важно понять, что они могут быть значительно усовершенствованы. Чтобы учесть мобильность популяции, надо допустить, что восприимчивые индивидуумы заражаются и от тех источников инфекции, которые не являются их ближайшими соседями. Возможно, здесь придется использовать какой-то весовой коэффициент, зависящий от расстояния. Видоизменения, которые нужно будет ввести при этом в программу вычислительной машины, сравнительно невелики. На следующем этапе, возможно, удастся описать таким способом реальные или типичные популяции с самой разнообразной структурой. Это откроет возможность оценивать эпидемиологическое состояние реальных популяций с точки зрения опасности возникновения эпидемий различного типа.

В предыдущей главе мы рассматривали модели, которые явля­ются статическим отражением систем в определенные моменты времени. В этом смысле рассмотренные варианты модели «черного ящика», модели состава и структурной модели называют статиче­скими моделями, что подчеркивает их неподвижность.

Следующий шаг в исследовании системы состоит в том, чтобы понять и описать, как система «работает», выполняя свое предна­значение. Такие модели должны описывать поведение системы, фиксировать изменения, происходящие с течением времени, улав­ливать причинно-следственные связи, адекватно отражать последо­вательность протекаемых в системе процессов и этапность ее разви­тия. Такого рода модели называют динамическими. При исследова­нии конкретной системы необходимо определить направление воз­можных изменений ситуации. Если такой перечень будет исчерпы­вающим, то он характеризует число степеней свободы, а значит, достаточен для описания состояния системы. Как оказалось, дина­мические модели делятся на такие же типы, как статические («чер­ного ящика», состава и «белого ящика»), только элементы этих мо­делей имеют временной характер.

2.4.1. Динамическая модель «черного ящика»

При математическом моделировании динамической системы ее конкретная реализация описывается в виде соответствия между возможными значениями некоторой интегральной характеристики системы с и моментами времени t. Если обозначить через С - множество возможных значений с, а через Т - упорядоченное множество моментов времени t, то построение модели динамиче­ской системы равносильно построению отображения

Г->С:с(t)ϵСͭͭ,

где Сͭ - значение интегральной характеристики в точке t ϵ .

В динамической модели «черного ящика» предполагается раз­биение входного потока х на две составляющие: и - управляемые входы, y - неуправляемые входы (рис 2.9).

Таким образом, она выражается совокупностью двух процессов:

Хͭ = {u(t), y(t)}; u(t)eU; y(f)eK;

Рис. 2.9. Динамическая модель «черного ящика»

предполагается, что это преобразование неизвестно.

Из данного типа моделей в наибольшей мере изучены так назы­ваемые безынерционные системы. Они не учитывают фактора време­ни и работают по схеме «если-то». Например: если воду нагреть до

100° С, то она закипит. Или: если вы правильно авторизовали свою кредитную карту, то банкомат вам сразу выдаст затребованную сумму денег. То есть следствие вступает в силу сразу за причиной.

Определение 1. Динамическая система называется безынерцион­ной, если она мгновенно преобразует вход в выход, т.е. если y(t)

является функцией только х(t) в тот же момент времени.

Поиск неизвестной функции у(/) = Ф(х(t)) осуществляется по­средством наблюдения входов и выходов исследуемой системы. По существу, эта задача о переходе от модели «черного ящика» к моде­ли «белого ящика» по наблюдениям входов и выходов при наличии информации о безынерционности системы.

Однако класс безынерционных систем весьма узок. В экономи­ке такие системы очень большая редкость. Разве только отдельные биржевые операции с некоторой натяжкой можно причислить к классу безинерционных.

При моделировании экономических систем необходимо пом­нить, что в них всегда присутствует задержка и, более того, следст­вие (результат) может проявиться совсем не в том месте, где его ожидали. Таким образом, имея дело с экономическими системами, нужно быть готовым к тому, что последствия могут отстоять от вы­звавшей их причины во времени и пространстве.

Например, если в фирме отдел сбыта пустит на самотек пред­продажное обслуживание и сконцентрирует все свои силы на про­дажах, пострадает отдел гарантийного обслуживания. Но это про­явится не сразу, а спустя определенное время. На лицо проявление следствия «не там и не в то время». Или: для изменения покупа­тельских пристрастий может потребоваться несколько недель рек­ламной кампании, и не обязательно ощутимые перемены начнутся сразу же после ее окончания.

Обратная связь действует по цепочке причинно-следственных связей, образующих замкнутый контур, и требуется время, чтобы его обойти. Чем большей динамической сложностью обладает сис­тема, тем больше нужно времени на то, чтобы сигнал обратной свя­зи пробежал по ее структуре (сети взаимосвязей). Достаточно одной задержки, чтобы обеспечить сильное запаздывание сигнала.

Определение 2. Время, необходимое для того, чтобы сигнал об­ратной связи прошел по всем звеньям системы и вернулся в исход­ную точку, называется памятью системы.

Не только живые системы имеют память. В экономике, напри­мер, это ярко демонстрирует процесс вывода на рынок нового то­вара. Как только на рынке появляется новый товар, пользующийся спросом, сразу находится много желающих его производить. Мно­гие фирмы запускают производство этого товара, и пока существует спрос, наращивают его объемы. Рынок постепенно насыщается, но производители пока этого не ощущают. Когда объем производства превысит некоторое критическое значение, спрос станет падать. Производство товара по определенной инерции еще некоторое вре­мя будет продолжаться. Начнется затоваривание складов готовой продукцией. Предложение сильно превысит спрос. Цена на товар упадет. Многие фирмы прекратят производство этого товара. И та­кая ситуация будет сохраняться до тех пор, пока предложение не упадет до таких значений, что не сможет покрыть существующий спрос. Рынок сразу уловит складывающийся дефицит и отреагирует повышением цены. После этого начнется оживление производства и новый цикл взлета-падения рынка. Так будет продолжаться до тех пор, пока на рынке не останутся несколько производителей, которые либо договорятся между собой, либо интуитивно нащупают квоты производства товара, суммарный объем которых будет соответство­вать требуемому соотношению спроса и предложения (рис. 2.10).

Точно так же выглядят графики инфляции и дефляции денеж­ного рынка, расцвета и крахов фондового рынка, пополнения и расходования семейного бюджета. Все дело в том, что причину и следствие разделяет задержка во времени. Все это время система «помнит» как она должна отреагировать на причину. На первых порах кажется, что и следствия-то никакого нет. Но со временем эффект проявляется. Введенные в заблуждение (в нашем примере предприниматели) слишком поздно и слишком сильно реагируют на пики спроса и предложения. А во всем виновата уравновеши­вающая обратная связь, работающая с задержкой во времени.

Рис. 2.11. Колебание рынка товара

В такой ситуации есть два решения. Во-первых, можно сделать более надежным измерение, осуществляя постоянный или перио­дический мониторинг рынка. Во-вторых, следует учитывать раз­ницу во времени и стремиться оказаться там где нужно к тому времени, когда сигнал обратной связи успеет пройти через все звенья системы. Когда понимаешь, как осуществляется процесс, появляется возможность изменить ситуацию в желательном на­правлении.

В очень сложных системах следствие может проявиться спустя очень длительное время. К тому времени, когда оно даст о себе знать, критический порог может миновать и будет уже поздно что- либо исправлять. Особенно наглядно такая опасность просматрива­ется во влиянии промышленных отходов на окружающую среду. То, что мы делаем сейчас, скажется на нашей будущей жизни, когда появятся последствия наших дел. Нашими сегодняшними поступ­ками мы формируем облик будущего.

В облике динамической модели «черного ящика», по существу, ничего не изменится, кроме того, что момент появления выхода у потребуется скорректировать на время задержки ∆, т.е. выход сис­темы примет вид y(t + ∆) (см. рис. 2.10). Однако основная труд­ность моделирования в том и заключается, чтобы определить вели­чину Д и место, в котором появится у. Наилучшим образом это удается в рамках построения так называемых лаговых моделей, кото­рые изучает математическая статистика.

2.4.2. Динамическая модель состава

В теории систем различают два вида динамики: функциониро­вание и развитие. Под функционированием подразумевают процессы, которые происходят в системе, стабильно реализующей фиксиро­ванную цель (функционирует предприятие, функционируют часы, функционирует городской транспорт и т.п.). Под развитием пони­мают изменение состояния системы, обусловленное внешними и внутренними причинами. Развитие, как правило, связывают с дви­жением систем в фазовом пространстве.

Исследованием функционирования экономических систем заня­ты специалисты в области экономического анализа. Исходную базу для этого исследования составляют данные бухгалтерского учета, статистической отчетности и статистических наблюдений. В боль­шинстве случаев задача экономического анализа решается аналити­ческими методами бухгалтерского учета или сводится к построению и реализации корреляционно-регрессионных моделей. Богатейший инструментарий экономического анализа изучается в рамках ряда дисциплин цикла «Бухгалтерский учет и статистика».

Развитие в большинстве случаев обусловлено изменением внешних целей системы. Характерной чертой развития является то, что существующая структура перестает соответствовать новым це­лям и для обеспечения необходимого соответствия приходится из­менять структуру системы, т.е. осуществлять ее реорганизацию. Экономические системы (предприятия, организации, корпоратив­ные образования) в условиях рыночной экономики для выживания в конкурентной борьбе должны постоянно находиться в фазе разви­тия. Только постоянное обновление ассортимента выпускаемой продукции или оказываемых услуг, совершенствование технологии производства и методов управления, повышение квалификации и образованности персонала могут обеспечить экономической систе­ме определенные конкурентные преимущества и расширенное вос­производство.

В данном параграфе, не отрицая значимости фазы функциони­рования системы, большей частью будем вести речь о фазе ее раз­вития, хотя при расширенном толковании функционирования сис­темы как движения к намеченной цели (плану) приведенные ниже рассуждения вполне применимы к моделированию фазы функцио­нирования системы.

Динамическому варианту модели состава соответствует перечень этапов развития или состояний системы на моделируемом интерва­ле времени. Под состоянием системы будем понимать такую сово­купность параметров, характеризующих пространственное положе­ние системы, которая исчерпывающе определяет ее текущее позирование.

Фиксация состояния определяется посредством введения раз­личных переменных, каждая из которых отражает какую-то одну существенную сторону исследуемой системы. В данном случае важ­на исчерпываемость описания для раскрытия того назначения сис­темы, которое подвергается исследованию в рамках данной модели.

Наиболее наглядно состояние системы определяется через сте­пени свободы. Это понятие введено в механике и означает число независимых координат, однозначно описывающих положение сис­темы. Так, твердое тело в механике есть система с шестью степеня­ми свободы: три линейные координаты фиксируют положение цен­тра масс, а три угловые - положение тела относительно центра масс.

В экономических исследованиях каждую координату (степень свободы) связывают с определенным показателем (количественно измеряемой характеристикой системы). Ключевая задача при этом заключается в том, чтобы обеспечить независимость показателей, отобранных для построения модели системы. Поэтому необходимо глубоко понимать природу экономических явлений и отражающих их показателей, чтобы правильно сформировать базис для построе­ния модели состава экономической системы.

Развитие системы есть не привычное перемещение, а некоторая абстракция, описывающая изменение ее состояния. Таким образом, динамические свойства объекта характеризуются через изменение параметров состояния во времени. На рис. 2.12 приведено графиче­ское отображение движения системы в трехмерном пространстве (в теории систем такое пространство называют пространством состоя­ний, или фазовым пространством).

Рис. 2.12. Траектория развития системы

Тогда состояние системы в момент времени ts описывается вектором Cs = (C1s,C2s,C3s). Аналогично описываются ее началь­ное Сн и конечное Ск состояния, а изменения в системе отобра­жаются некоторой кривой - траекторией развития. Каждая точка этой кривой фиксирует состояние системы в определенный момент времени. Тогда движение системы эквивалентно перемещению точ­ки по траектории С2.

Экстраполируя это описание на случай и независимых коорди­нат и помня, что каждая координата (параметр) зависит от времени t, развитие системы можно описать совокупностью функций с1= с1(t), с2=с2(t) ,..., сn =сn(t), или вектором (с1(t), с2 (t),...,сn =сn(t)), принадлежащим пространству состояний С.

Таким образом, динамическая модель состава системы это не что иное, как упорядоченная последовательность ее состояний, по­следнее из которых эквивалентно цели системы, т.е.

Сн =С0 ->СJ ->Ct ->...->СT=Ск,

где Сн - начальное;

Ск - конечное;

С, = (c1 (t), c2 (t),..., сn (t)), t ϵ - текущее состояние системы.

Случай, когда строго определены граничные состояния систе­мы, относится к категории простейших, так как далеко не всегда удается описать состояние конкретными значениями. Более общей является ситуация, когда на начальное и конечное состояния сис­темы накладываются некоторые условия. Каждое из условий в про­странстве состояний представляется некоторой поверхностью или областью, размерность которой не должна быть больше числа сте­пеней свободы системы. Тогда вектор состояния системы в гранич­ные моменты времени должен находиться на заданной поверхности или в заданной области, что и будет означать выполнение условий.

2.4.3. Динамическая структурная модель

В динамических системах элементы могут вступать в самые раз­нообразные отношения между собой. А поскольку каждый из них способен пребывать во множестве различных состояний, то даже при небольшом числе элементов они могут быть соединены множе­ством различных способов. Построить модель такой системы, пре­дусмотрев изменение состояний одних элементов системы в зави­симости от того, что происходит с другими ее элементами, - очень непростая задача. Тем не менее современная наука выработала не­мало подходов к моделированию такого рода систем. На двух из них, которые стали классическими, остановимся подробнее.

Как и в случае статической структурной модели, динамическая структурная модель представляет собой симбиоз динамической мо­дели «черного ящика» и динамической модели состава. Другими словами, динамическая структурная модель должна увязать в еди­ное целое вход в систему X = {х(t)} = {u(t),v(t)}, u(t)ϵu, v(t)ϵV, промежуточные состояния

Ct = , t ϵ, и выход y={y(t)},

где, U - множество управляемых входов u(t);

U - множество неуправляемых входов v(t);

X = U U X - множество всех входов в систему;

Т - горизонт моделирования системы;

С, - промежуточное состояние системы в момент време­ни t ϵ .

В зависимости от того, отображаются промежуточные состояния системы строго определенной упорядоченной последовательностью

Сt (t = 0,1, 2, ..., Т) или одной неопределенной функцией Ct = Ф(t, хt), в результате моделирования получают либо динамическую струк­турную модель сетевого типа, либо динамическую структурную мо­дель аналитического типа.

Сетевые динамические модели. В динамической структурной мо­дели сетевого типа для каждой пары соседних состояний системы Сt-1 и Сt (t ϵ ) задается управляющее воздействие u(t), которое переводит систему из состояния Ct-l в состояние Ct. При этом оче­видно, что u(t) на каждом шаге траектории может принимать зна­чения из некоторого множества допустимых управляющих воздей­ствий на этом шаге

Ut: u(t)ϵUt. (2.1)

Таким образом, промежуточное состояние системы в некоторой точке t траектории ее развития записывается следующим образом

Сt=F(Ct-i,u(t)), t ϵ.

Обозначим через Ct множество всех состояний системы, в ко­торое можно ее перевести из начального состояния C0=CH за t ша­гов, используя управляющие воздействия u(t) ϵ Ut (t = 0,1, 2,..., t). Множество достижимости Сt определяется с помощью следующих рекуррентных соотношений:

Сt = {Ct: Сt = ƒ(Сt-1, и(t); и(t ϵUt; t = 0,1, 2,...,t}.

В задании на дальнейшее развитие или первоначальную разра­ботку системы указывается перечень допустимых ее конечных со­стояний, которые должны принадлежать некоторой области

СtϵС-Т. (2.2)

Управление U =(u(1), u(2),..., u{t),..., и(Т)) , состоящее из пошаговых управляющих воздействий, будет допустимым, если оно переводит систему из начального состояния Сн = С0 в конечное состояние Ск =СT , удовлетворяющее условию (2.2).

Выведем условия допустимости управления. Для этого рассмотрим последний Т-й шаг. В силу ограниченности множества UT перевести систему в состояние СT ϵ СT можно не из любого состоя­ния CT-1, а лишь из-T-1,Ст-1 G с,

Где, С - множество, удовлетворяющее условию

VCT=1 ϵ C-T-1зu(T)ϵUT: су =/(СУ-1, и(Т))&ст.

Иными словами, чтобы иметь возможность после Т-то шага-г управления выйти в область допустимых состояний С, необходимо-г-1 после (Г - 1) шагов находиться в области С.

Аналогичные множества допустимых состояний с" формируют­ся для всех остальных шагов t = 1, Т - 1.

Для достижения цели построения (развития) системы необхо­димо выполнение условий

С"ПС"*0, / = 1,Т. (2.3)

В противном случае цель системы не может быть достигнута. Для преодоления этого препятствия потребуется либо изменить-T цель системы, изменив тем самым С, либо расширить область возможных управляющих воздействий ut = 1,Т (в первую очередь на тех шагах траектории системы, на которых не выполняется усло­вие 2.3).

Пусть в результате преодоления (t -1) шагов система перешла в состояние Ct-1. Тогда множество допустимых управляющих воздей­ствий на t-м шаге определяется следующим образом:

U(t) = {u(t): Сt =ƒ(Сt-1, u(t) ϵс-t}. (2.4)

Объединяя (2.1) и (2.4), можно записать условия управляемого целенаправленного развития системы:

U(t)ϵ(t)nU(f) = 1д. (2.5)

Условия (2.5) означают, что управление должно быть возможным по его реализуемости и допустимым по обеспечению выхода системы в заданную область конечных состояний.

Таким образом, построение динамической структурной модели системы сетевого типа заключается в формализованном описании траектории ее развития путем задания промежуточных состояний системы и управляющих воздействий, последовательно переводя­ щих систему из начального состояния в конечное, соответствующее цели ее развития.

Поскольку из «начала» в «конец», как правило, существует множество путей, определение траектории развития системы можно вести по различным критериям (минимуму времени, максимуму эффекта, минимуму затрат и т.п.). Выбор критерия определяется целью моделирования системы.

Такой подход к моделированию динамических систем, как пра­вило, приводит к построению сетевых моделей разных типов (сете­вым графикам, технологическим сетям, сетям Петри и т.п.). Неза­висимо от типа сетевой модели их сущность заключается в том, что они описывают некоторую совокупность логически увязанных ра­бот, выполнение которых должно обеспечить построение некоторой системы (предприятия, дороги, политической партии) или перевода ее в другое состояние, соответствующее новым целям и требовани­ям времени.

Конкретизация динамических систем на этом, конечно, не за­канчивается. Приведенные модели, скорее всего, являются отдель­ными примерами реальных систем. В классе моделей динамических систем различают еще стационарные модели, мягкие и жесткие мо­дели, которые находят применение при исследовании конкретных прикладных проблем.

Контрольные вопросы

1. Приведите несколько определений системы и содержательную характеристику каждого из них.

2. В чем заключается разница между философской категорией и естественно-научным понятием?

3. Перечислите и проинтерпретируйте основные свойства системы.

4. Что такое эмерджентность системы?

5. Как соотносятся понятия «целостность» и «эмерджентность»?

6. В чем заключается сущность редукционизма? Чем он отличается от системного подхода?

7. В чем заключается разница между внешними и внутренними связями системы?

8. Какое свойство лежит в основе деления систем на открытые и закрытые (замкнутые)?

9. Приведите примеры закрытых экономических систем.

10. С помощью чего обеспечивается устойчивость системы?

11. В чем заключаются внутренняя и внешняя цели системы?

12. Как согласуются внутренняя и внешняя стратегии системы?

13. Как установить границы экономической системы?

14. Назовите причину неудовлетворительности прогнозов, получаемых в результате эконометрического моделирования.

15. Охарактеризуйте транзакционную среду экономической системы.

16. За счет чего открытые экономические системы сохраняют свои индивидуальные особенности?

17. Как (в каких шкалах) измеряются эмерджентные свойства сис-тем?

18. Назовите необходимое условие существования эмерджентного свойства системы.

19. В чем заключается сущность свойства целеустремленности. Как это свойство проявляется в экономических системах?

20. Приведите примеры реактивных, ответных, самонастраиваемых и активных экономических систем.

21. В чем заключается сущность свойства иерархичности экономических систем?

22. Эквивалентны ли понятия «уровень иерархии» и «страта»?

23. В чем заключается сущность свойства многомерности экономической системы?

24. Дайте системное определение понятию «компромисс».

25. Приведите практические примеры использования свойства многомерности при исследовании экономических систем.

26. В чем заключается сущность свойства множественности экономической системы?

27. Приведите примеры множественности функций экономической системы.

28. Как проявляется множественность структуры экономической системы?

29. Приведите примеры эквифинальности и мультифинальности экономических систем.

30. Перечислите причины контринтуитивного поведения экономи-ческих систем.

31. Какой классификационный признак положен в основу первич-ной классификации систем?

32. Назовите основные характеристики естественных систем. При-ведите примеры.

33. Назовите основные характеристики искусственных систем. Приведите примеры.

34. В чем заключается специфика социокультурных систем?

35. К какому классу первичных систем относятся экономические системы?

36. В какой мере естественные, технические и гуманитарные науки привлекаются к анализу экономических систем?

37. Разместите факторы в порядке убывания влияния на конфигурацию системы: внешняя среда, внутренние связи системы, связи системы с внешней средой, элементы системы.

38. Поясните, каким образом моральные ценности лица, принимающего решения, материализуются в реальной экономической системе.

39. Что представляет собой среда, в которой существуют и функционируют экономические системы?

40. Дайте определение экономической системы.

41. Какие классификационные признаки положены в основу пространственно-временной классификации экономических систем?

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.673: 004.9

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В КЛАССЕ ФОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ*

А.Я. Фридман

Институт информатики и математического моделирования КНЦ РАН

Аннотация

Рассматриваются вопросы моделирования сложных динамических объектов (СДО) в слабо формализованных предметных областях. Для предложенной ранее ситуационной концептуальной модели подобных объектов разработана интерпретация в классе семиотических формальных систем, что позволяет интегрировать различные средства исследования СДО, обеспечив совместную логико-аналитическую обработку данных и ситуационный анализ состояния изучаемого объекта с применением экспертных знаний и учетом пространственно-временных зависимостей в характеристиках СДО, выполняемые с использованием картографической информации.

Ключевые слова:

концептуальная модель, пространственный динамический объект, семиотическая формальная система.

Введение

В настоящей работе рассмотрены вопросы моделирования СДО в слабо формализованных предметных областях. Помимо структурной сложности, особенность СДО состоит в том, что результаты их функционирования существенно зависят от пространственных характеристик составных частей и от времени.

При моделировании СДО необходимо учитывать разнообразные информационные, финансовые, материальные, энергетические потоки, предусматривать анализ последствий изменения структуры объекта, возможных критических ситуаций и т.п. Принципиальная неполнота знаний о подобных объектах ограничивает применимость классических аналитических моделей и определяет ориентацию на использование опыта экспертов, что, в свою очередь, связано с созданием соответствующих средств формализации экспертных знаний и их встраиванием в систему моделирования. Поэтому в современном моделировании значительно возросла роль такого понятия, как концептуальная модель предметной области (КМПО) . Основа КМПО -не алгоритмическая модель передачи и преобразования данных, как в аналитических моделях, а декларативное описание структуры объекта и взаимодействия его составных частей. Таким образом, КМПО изначально ориентирована на формализацию знаний экспертов. В КМПО определяются элементы исследуемой предметной области и описываются отношения между ними, которые задают структуру и причинно-следственные связи, существенные в рамках определенного исследования .

Представленная в данной работе ситуационная система моделирования (ССМ) на основе древовидной ситуационной концептуальной модели (СКМ) есть один из вариантов

* Работа частично поддержана грантами РФФИ (проекты № 13-07-00318-а, № 14-07-00256-а,

№ 14-07-00257-а, № 14-07-00205-а, № 15-07-04760-а, № 15-07-02757-а).

реализации технологий типа CASE (Computer Aided Software Engineering) и RAD (Rapid Application Development).

Семиотические формальные системы

Основное достоинство логических исчислений в качестве модели представления и обработки знаний заключается в наличии единообразной формальной процедуры доказательства теорем. Однако оно влечет за собой и основной недостаток данного подхода -сложность использования при доказательстве эвристик, отражающих специфику конкретной проблемной среды . Это особенно важно при построении экспертных систем, вычислительная мощность которых в основном определяется знаниями, характеризующими специфику предметной области. К другим недостаткам формальных систем следует отнести их монотонность (невозможность отказаться от заключений, если становится истинным дополнительный факт, и в этом смысле они отличаются от рассуждений на основе здравого смысла), отсутствие средств для структурирования используемых элементов и недопустимость противоречий.

Стремление устранить недостатки формальных систем при их использовании в искусственном интеллекте привело к появлению семиотических систем, формализуемых восьмеркой :

S::= (В, F, A, R, Q(B), Q(F), Q(A), Q(R)). (1)

В (1) первые четыре компонента те же, что и в определении формальной системы , а остальные компоненты - правила изменения первых четырех компонентов под влиянием накапливаемого в базе знаний опыта о строении и функционировании сущностей в данной проблемной среде. Теория подобных систем находится на начальной стадии развития, но существует много примеров решения конкретных задач в рамках этой парадигмы. Ниже описывается один из таких примеров.

Основы ситуационного моделирования

При постановке задачи и подготовке процесса моделирования КМПО предназначена для представления знаний о структуре исследуемой предметной области. Для элементов КМПО существует соответствие между собственно объектом реального мира и его модельным представлением. В обеспечение возможности автоматизации последующих этапов моделирования осуществляется отображение модели предметной области на адекватную ей формальную систему. Этот переход реализуется в ходе построения КМПО путем задания каждому ее элементу некоторого формального описания. В результате, завершение построения КМПО будет соответствовать переходу от неформальных знаний об исследуемой предметной области к их формальному представлению, допускающему только однозначную процедурную трактовку. Полученная формальная модель носит декларативный характер, так как в ней описывается в первую очередь состав, структура и отношения между объектами и процессами, независимо от конкретного способа их реализации в компьютере.

Декларативный язык описания СКМ состоит из двух частей: части, соответствующей объектам описываемого мира, и части, соответствующей отношениям и атрибутам представленных в модели объектов. В качестве математической основы декларативного языка использована аксиоматическая теория множеств.

В СКМ описываются три вида элементов (сущностей) реального мира - объекты, процессы и данные (или ресурсы). Объекты отображают организационную и пространственную структуру объекта исследования, с каждым из них может быть связан набор процессов. Под процессом понимается некоторое действие (процедура), преобразующее подмножество данных, называемых входными по отношению к рассматриваемому процессу, в другое их подмножество,

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

именуемое выходным. Данные характеризуют состояние системы. Они используются при реализации процессов, служат результатами их выполнения. Выполнение любого процесса изменяет данные и соответствует переходу системы из одного состояния в другое. Взаимосвязи и взаимодействие объектов реального мира описывается в модели с помощью отношений, задаваемых на множествах объектов, процессов и данных. Каждое отношение связывает элемент модели с некоторым множеством других элементов.

Имена элементов СКМ даются в терминах предметной области. Каждому элементу модели назначается исполнитель, обеспечивающий его реализацию в ходе моделирования. Тип исполнителя определяет характеристики реализации, например, язык программирования, на котором пишется исполнитель соответствующего процесса, и тип исполнителя в алгоритмическом языке.

Атрибуты, описывающие тип отношения иерархии , конкретизируют представление объектов модели на следующем, нижнем уровне иерархии. Тип отношения «композиция» (&) определяет, что объект строится агрегацией его подобъектов. Тип «классификация» (v) указывает, что объект верхнего уровня есть обобщение группы объектов нижнего уровня. Отношение типа «классификация» в СКМ используется для представления различных вариантов элемента верхнего уровня. Тип «итерация» (*) позволяет определять в СКМ итеративные процессы и описывать регулярные структуры данных.

В зависимости от типа отношения иерархии объекту назначается управляющее данное. Управляющие данные используются для доопределения структуры процессов, имеющих тип отношений иерархии «классификация» или «итерация», и данных, имеющих иерархическое отношение типа «итерация».

Формальное представление СКМ дает возможность существенно автоматизировать анализ корректности структуры и разрешимости СКМ .

Важный аспект эффективности СКМ состоит в удобстве представления результатов моделирования. В настоящее время наиболее перспективной средой для компьютеризованного исследования объектов класса СДО считается географическая информационная система (ГИС) . Кроме продвинутых способов визуализации и графической обработки данных, инструментальные средства ГИС в принципе позволяют ставить задачи для пространственно координированных расчетов в дружественной к пользователю графической среде, хотя это требует дополнительных разработок программного обеспечения. Кроме того, ГИС-пакеты не рассчитаны на анализ динамики объекта и серьезную математическую обработку данных.

Еще одно достоинство ГИС в рамках рассматриваемой задачи заключается в том, что с каждым графическим элементом можно связать дополнительные поля БД, доступные для модификации внешними вычислительными модулями, в отличие от графических атрибутов. В частности, в этих полях можно хранить атрибуты концептуальной модели, относящихся к заданному элементу, и другие параметры, необходимые для организации и проведения моделирования.

Таким образом, каждый цикл расчетов в ходе моделирования включает три стадии: задание условий расчета, собственно расчет и вывод результатов. Неформальная цель разработки СКМ заключается в автоматизации всех этих стадий с обеспечением максимального сервиса непрограммирующему пользователю, то есть с использованием терминологии предметной области и дружественного интерфейса пользователя с компьютером. По тем же соображениям ССМ должна быть функционально полной, то есть предоставлять пользователю все нужные ему средства без явного выхода в другие программные среды. Создание специализированных графических библиотек и средств генерации отчетов потребовало бы неоправданных затрат на программирование и значительно удлинило сроки разработки. Поэтому представляется целесообразным компромиссное решение: возложить задачи вывода данных на стандартные пакеты или специализированные программные модули, но в максимальной степени автоматизировать их работу, исключив диалог с пользователем в их среде.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

Формальное описание СКМ

СКМ базируется на представлении объекта моделирования в виде древовидного И-ИЛИ графа, отображающего иерархическую декомпозицию структурных элементов СДО в соответствии с их организационными связями.

Чтобы избежать вычислительных проблем, связанных с малыми изменениями данных, и обеспечить поддержку совместной расчетно-логической обработки данных, в СКМ выходными данными процедур обработки (исключение составляют данные, вычисляемые ГИС) могут быть только данные с дискретным конечным множеством значений (типа списков). Если значения некоторого данного есть строковые константы, то такое данное называется параметром (категория PAR), а имеющее числовые значения именуется переменной (категория VAR), и над ним можно выполнять определенные математические операции. Если результат вычислений представляет собой значение переменной, он округляется до ближайшего значения из списка допустимых значений. В дальнейшем, если сказанное относится к данным любого разрешенного в СКМ типа, употребляется термин «данное». Таким образом, множество имен данных делится на множества имен переменных и параметров:

D::=< Var, Par >, Var::= {var }, i = 1, N ;

7 7 к l 7 v 7 (2)

Par::={parj}, j = 1, Np, где Nv и Np - мощности этих множеств.

Данные моделируют ресурсы (количественные характеристики) объектов или процессов (категория RES), переменные могут также использоваться как настроечные параметры функций (критериев) качества функционирования элементов СКМ (категория ADJ). Соответственно, множество имен переменных делится на подмножество имен ресурсов элементов СКМ и подмножество имен настроечных параметров критериев качества этих элементов:

Var::=< Res, Adj > (3)

Отдельную категорию (категорию GIS) составляют графические характеристики объектов СКМ, непосредственно вычисляемые в ГИС. Все они относятся к переменным, но не рассматриваются как списки, так как используются только как входные ресурсы элементов модели и не меняются в ходе имитации.

Объекты СКМ имеют три основные характеристики: имя, функциональный тип, который определяет структуру и функции объекта и используется в процессе анализа корректности СКМ, и имя суперобъекта, доминирующего данный объект в СКМ (отсутствует для объекта верхнего уровня). По положению в дереве объектов и на карте выделяются три категории объектов СКМ: примитивы (категория LEAF), структурно неделимые с точки зрения глобальной цели моделирования, элементарные объекты (категория GISC), географически связанные с одним ГИС-элементом (полигоном, дугой или точкой какого-либо покрытия), и составные объекты (категория COMP), состоящие из элементарных и/или составных объектов. Структура объектов категории GISC в СКМ может быть достаточно сложной, но все их подобъекты имеют одну и ту же географическую привязку. Множество объектов образует иерархию:

О = {а 0Уа}::=2°а, (4)

где а = 1, Nl - номер уровня дерева объектов, к которому относится данный объект (L - общее количество уровней декомпозиции);

вб = 1, Nб - порядковый номер объекта на его уровне декомпозиции;

г = 1, N6_ - порядковый номер суперобъекта, доминирующего заданный элемент на вышележащем уровне;

Об - множество объектов, принадлежащих уровню с номером а.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

Для обеспечения связности СКМ принимается, что существует единственный суперобъект, доминирующий все объекты первого уровня декомпозиции, то есть справедливо соотношение:

O. -i0.”} 0, = (5)

Процессы в СКМ отображают преобразования данных и реализуются различными способами в зависимости от присвоенной процессу одной из трех следующих категорий: внутренние процессы (категория INNER), все их входные и выходные данные относятся к одному объекту; внутриуровневые процессы (категория INTRA), связывающие объекты СКМ, не подчиняющиеся друг другу; межуровневые процессы (категория INTER), описывающие передачу данных между объектом и подобъектами или между объектом и суперобъектом. Введенное категорирование процессов несколько усложняет процесс создания СКМ (в некоторых случаях может потребоваться создавать фиктивные процессы, обеспечивающие такую типизацию), но позволяет сделать процедуры формального контроля СКМ значительно более полными и детальными.

Основные характеристики процессов: уникальное имя, характеристика исполнителя процесса и функциональный тип процесса, который определяет тип преобразований, им осуществляемых, и используется в процессе анализа корректности СКМ; дополнительно используются список входных и выходных данных и их допустимых граничных значений. Исполнитель процесса специфицирует его динамические свойства и способ реализации в компьютере. Исполнитель можно задать либо непосредственно (в виде разностного уравнения), либо косвенно - ссылкой на имя реализующего этот процесс программного модуля.

Схема концептуальной модели образуется кортежем:

^ССМ::=<о,P,DCM,H,OP,PO,U >, (6)

где O - множество объектов КМПО (9);

P::= {pn I n = 1, Np - множество процессов КМПО;

DCM с D - множество данных концептуальной модели, где D определено в (4), (5);

H - отношение иерархии объектов, которое с учетом (4) и (5) примет вид:

где Hб с O6х B,(O6) - отношения иерархии для каждого из уровней дерева объектов, причем b"(o6) есть разбиение множества Оа;

OP с O х B (P) - отношение «объект - порождающие его выходные данные процессы», причем B (P) есть разбиение множества P;

PO с P х B(О) - отношение «процесс - создающие его входные данные объекты»;

U::= Up иU0 - отношение, формализующее управление процессом вычислений на основе СКМ, имеет составляющие следующего вида:

U с P х B(Res) - отношение «процесс - управляющее данное»;

Uo с О х B(Res) - отношение «объект - управляющее данное».

Отношение «объект (процесс) - управляющее данное» ставит в соответствие некоторому объекту (процессу) модели данное, которое доопределяет этот объект при переходе к алгоритмической интерпретации. Передача данных между объектами осуществляется только через списки входных и выходных данных этих объектов, что согласуется с принципами инкапсуляции данных, принятыми в современном объектно-ориентированном программировании. Все процессы, приписанные к одному объекту, описываются отношением OA с О х B(P) «объект - приписанные к нему процессы». Это отношение не входит в схему

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

СКМ, поскольку, в отличие от отношений Н, ОР и РО, не задается пользователем при конструировании модели, а формируется автоматически.

Отношения, определенные в модели, удобно представлять в форме функций (7), частично определенных на множествах О и Р, с областями значений В(Р), B(O) или В"(Об). Названия

функций обозначены строчными символами, соответствующими прописным символам в названиях отношений:

h:°б_1 ^B"(Oa),(Vo;. е06,Vo! е°б_Hoj = hб(o))оojHbог); op . O ^ B(p^ (Vo е O, Vp е р)({р; = opio)) «■ o,Opp]);

Po.p ^ b(0), (vo е O, VP] е p)((o = po(P])) « P]OPot);

oa: O ^ B(P),(VOi е O, Vp} е P)((p} = oa(ot))otOAp});

: p ^ B(Res\(vPi е p, Vres] е Res)((res] = up (pi)) ptUpres]);

: O ^ B(Res), (Vo1 е O, VreSj е Res){(resj = uo (o1)) o1Uo resj).

Множества значений функций (7), формирующие сечения областей значений введенных отношений по некоторому элементу областей их определения, обозначаются жирным шрифтом:

h6 (oi)::= \Р] : o] = ha(oi)}; oP(oi) ::= \Р] : Р] = oP(oi)};

ро(Р]) ::= {o: oi = po(p])}; oci(pi) ::= ^ . p} = oa(oi)}; (8)

up (Pi) ::= \res]: res] = up (Pi)}; uo (o) ::= \res]: res] = uo (o)}.

Аналогично (8) записываются сечения введенных отношений по подмножествам их областей определения, строящихся как объединения всех сечений по элементам этих подмножеств. Например, h (Oi), где Oi с O6_х, есть множество объектов уровня а, доминируемых данным подмножеством объектов oj е O t, которые находятся на уровне а - 1.

Ниже также используется множество подчиненности объекта oi h ’(oi)::= U h(oi).

Разработанные алгоритмы присвоения категорий элементам СКМ используют вышеописанные отношения и выявляют все возможные ошибки категоризирования элементов модели . Процедуры контроля правильности назначений исполнителей элементов СКМ используют следующие ограничения (доказательства даны в ).

Теорема 1. В конечной СКМ не может иметь места рекурсивная декомпозиция типов исполнителей объектов, то есть ни один объект, входящий во множество подчиненности некоторого объекта, не может иметь исполнителя того же типа, что и исходный объект.

Теорема 2. В конечной СКМ не может иметь места инверсия подчиненности исполнителей объектов, то есть ни один объект, входящий во множество подчиненности некоторого объекта с исполнителем типа е1, не может иметь исполнителя того же типа, что и любой другой объект, во множестве подчиненности которого содержится какой-либо объект с исполнителем типа е1.

Принципы контроля разрешимости СКМ

Выполненное согласно принятым в ССМ правилам построение корректной модели еще не гарантирует, что эта модель разрешима, то есть можно решить все задачи, в ней декларированные. Под разрешимостью в общем случае понимается достижимость некоторого подмножества объектов модели, которые определяются как целевые, из другого подмножества объектов, которые определяются как исходные. Разрешимость может рассматриваться в двух основных аспектах: при анализе всей модели в целом (до начала расчетов) она подразумевает согласованность и однозначность описания всех допустимых вариантов достижения глобальной цели на различных уровнях иерархии, а в процессе

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

реализации моделирования разрешимость состоит в обеспечении выбора корректного фрагмента модели, описывающего изучаемую ситуацию. Функциональное различие между перечисленными аспектами состоит в том, что при анализе всей модели оценивается только потенциальная возможность моделирования всех описанных в модели объектов, а при анализе конкретной ситуации дополнительно ставятся задачи выбора минимального фрагмента, описывающего эту ситуацию, и количественного сопоставления возможных альтернатив, в ней содержащихся. Второй аспект разрешимости исследуется в , здесь же представлены особенности анализа разрешимости СКМ в целом, который автоматически проводится после завершения контроля ее корректности, а по требованию пользователя может быть выполнен в любое время. В общем случае, задачу анализа разрешимости можно сформулировать в следующем виде: указывается два множества элементов модели - исходное и целевое, при этом модель разрешима, если существует последовательность шагов, позволяющая получить целевое множество из исходного. Для этого пригодны простые волновые алгоритмы .

При анализе обоих аспектов разрешимости концептуальная модель рассматривается как формальная система. В ее алфавит входят:

символы, обозначающие элементы модели (pi, on, resj, ...);

функциональные символы, описывающие отношения и связи между элементами модели (ha, ор,...);

специальные и синтаксические символы (=, (,), ^,...).

Множество формул в рассматриваемой формальной системе образуют: собственно символы, обозначающие элементы КМПО:

{Pi е P} u {Oj eO] u {resk e DCM}; (9)

выражения (7), (8) и другие формулы для вычисления функций и множеств, определяемых с помощью отношений, которые введены над множествами (5);

выражения вычислимости для каждого процесса концептуальной модели:

list_in(pi) \ list out(pi), Up(pi) [, sp)] ^ p„ list_out(p,), (10)

где в силу принятого в ССМ предположения об автономности структуры каждого объекта во множество s(p) процессов, предшествующих pi, могут входить только процессы, приписанные к тому же объекту:

s(pi) с оа(оа"1(р1)); (11)

выражения вычислимости для каждого объекта концептуальной модели: list_in(oi), up(Oj), оа(о,), h(o,) ^ oi, list_out(oi); (12)

выражения вычислимости входных данных каждого объекта концептуальной модели, получающего материальные ресурсы от других объектов (ог: oo(o) Ф 0):

00(0,) ^ list_in(oi). (13)

В выражения (9)-(13) входят только материальные ресурсы, то есть в них не анализируются выходные данные процессов настройки и обратной связи, относящиеся к информационным ресурсам СКМ. Кроме того, вычислимость определенных в предпосылках этих выражений множеств констатируется при условии вычислимости всех элементов указанных множеств.

Дополнительного обоснования требует первая предпосылка предложения (10). Как известно, при наличии циклов по ресурсам в предметной области могут появляться данные, которые при построении концептуальной модели должны декларироваться как входные и выходные для некоторого процесса КМПО одновременно. По принятому в ССМ предположению такие циклы вносятся внутрь объектов КМПО, то есть должны учитываться при анализе разрешимости на уровне процессов.

Если при анализе разрешимости СКМ использовать выражение вычислимости, предложенное в и принимающее для СКМ вид:

list_in(p,) & up(p,) [& s(p,)] ^ p, & list_out(p,), (14)

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

то в модель нельзя будет включать ресурсы, служащие одновременно входными и выходными данными одного и того же процесса, то есть описывать часто встречающиеся на практике рекуррентные процессы вычислений. Выход из положения дает приведенная ниже теорема, доказанная в работе .

Теорема 3. Ресурс, одновременно входной и выходной для одного и того же процесса СКМ и не являющийся выходным ни для одного из предшествующих ему процессов, связанных с указанным процессом отношением порождения процессов (13), можно исключить из левой части предложения вычислимости без нарушения корректности анализа разрешимости модели.

Во множество аксиом рассматриваемой формальной системы входят:

аксиомы вычислимости всех ресурсов, относящихся к внешним данным (имеющим исполнителей типа DB, GISE или GEN)

|- resj: (ter(resj) = DB) v (ter(resj) = GISE) v (tS[(resJ) = GEN); (15)

аксиомы вычислимости всех ГИС-элементов СКМ (типы которых начинаются символами dot, pol или arc)

|- 0J: <х> dot) v (to(o/) Ю pol) V (to(oj) Ю arcX (16)

где символом условно обозначено вхождение стандартных ГИС-типов в функциональный тип объекта.

В рассматриваемой формальной системе заданы два правила вывода:

правило непосредственного следования -

Fi, Fi ^ F2 |- F2; (17)

правило следования с равенством -

Fi, Fi = F2, F2 ^ F3 |- F3, (18)

где F, - некоторые формулы из (9)-(13).

Структура описанной формальной системы аналогична структуре системы, предложенной в . Существенное отличие - вид выражений вычислимости (10), (12), (13) и состав аксиом, на основе которых проводится анализ разрешимости концептуальной модели.

Совокупность представленных в СКМ знаний о предметной области может быть признана корректной, если на различных уровнях иерархии в концептуальной модели действительно представлены взаимосогласованные спецификации объектов и процессов, обеспечивающих корректное порождение ресурсов для функционирования объектов вышележащих уровней. Соответствие спецификаций на всех уровнях ведет к тому, что концептуальная модель полностью характеризует корневой объект, соответствующий глобальной задаче, которую решает система в целом. Концептуальная модель разрешима , если в соответствующей ей формальной системе существует вывод каждой теоремы вычислимости из множества аксиом и других теорем.

Определение 1. СКМ разрешима тогда и только тогда, когда для каждого элемента модели, не входящего во множество аксиом, применение выражений вычислимости вида (10), (12), (13) к аксиомам и уже доказанным формулам (множеству теорем T) позволяет построить вывод с применением правил (17), (18) из множества аксиом (A) формальной системы (9)-(13).

При анализе разрешимости, который, согласно определению 1, представляет собой разновидность методов автоматического доказательства теорем, используется понятие «механизм вывода», в данном случае оно понимается как способ, алгоритм применения правил вывода (17), (18), обеспечивающий эффективное доказательство всей требуемой совокупности формул из множества T теорем (то есть синтаксически правильно построенных формул) рассматриваемой формальной системы. Наиболее простой способ организации вывода -«потоковый» механизм, при котором множество считающихся доказанными формул A", вначале равное множеству аксиом (A1 = A), расширяется в результате применения правил вывода . Если по истечении некоторого времени T с A", то модель разрешима, если это неверно и не удается применить ни одно из правил, то СКМ неразрешима.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

В качестве стратегии доказательства, используемой при анализе концептуальной модели общего вида, предложена стратегия снизу-вверх , состоящая в циклическом выполнении следующих этапов.

Этап I. Применяется правило (17) для получения всех возможных следствий из формул и аксиом.

Этап II. Применяются правила (17), (18) для получения всех возможных следствий из аксиом и полученных на предыдущем этапе доказательства формул.

Этап III. Применяется правило (13) для расширения списка считающихся вычислимыми объектов.

Доказано, что для построенных по описанным выше правилам корректных концептуальных моделей анализ разрешимости модели в целом сводится к анализу разрешимости отдельных входящих в ее состав шаблонов процессов категории INTRA и процессов агрегирования .

Обработка ситуаций

В теории ситуационного управления отмечается принципиальная важность разработки процедур обобщения описаний ситуации на основе их классификации с использованием множества прагматически важных признаков, которое само подлежит синтезу. К фундаментальным особенностям формирования понятий и классификации в ситуационном управлении отнесены:

Наличие процедур обобщения, основанных на структуре отношений между элементами ситуаций;

Возможность работы с именами отдельных понятий и ситуаций;

Необходимость согласования классификации ситуаций по некоторому основанию с классификацией на множестве воздействий (управлений).

Для реализации перечисленных принципов классификации и обобщения ситуаций в ССМ предусмотрен ряд программных средств:

Аппарат синтеза и анализа типов ситуаций, в частности, оптимальных достаточных ситуаций, ориентированный на решение вопросов координации и согласования управляющих воздействий на различных уровнях СКМ;

Инструментальные средства порождения и проверки гипотез о сравнительных характеристиках достаточных ситуаций в рамках вероятностной интерпретации этих гипотез с учетом влияния инструментальных погрешностей исходных данных на результаты моделирования;

Процедуры обобщения описаний ситуаций с учетом пространственно-временных отношений между элементами ситуаций, использующие библиотеку пространственновременных функций (ПВФ).

Синтез и анализ типов ситуаций. В результате классификации ситуаций по разработанным для ССМ алгоритмам генерируется большое количество классов ситуаций, полученных для различных объектов принятия решений (ОПР) и различных листьевых объектов фрагментов. С целью аккумуляции знаний о результатах классификации в ССМ предлагается использовать средства обобщения описаний ситуаций по синтезированным типам этих ситуаций. Этот способ конкретизирует общие рекомендации по построению иерархического описания ситуаций в системах ситуационного управления . Аналогично описанию полной ситуации обобщенное описание каждой достаточной ситуации строится на основе перечисления входящих в нее листьевых объектов и ОПР, что однозначно ее определяет ввиду древовидности декомпозиции объектов СКМ. Для синтеза обобщенного описания ситуации на первом уровне иерархии описаний применяется та же процедура, которая обеспечивает генерирование типов исполнителей объектов по типам приписанных к ним процессов . Исходные данные в ней -типы листьевых объектов и ОПР исследованных достаточных ситуаций, а результат работы -

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

уникальный тип достаточной ситуации, дополненный порядковым номером ее класса и ее номером в этом классе. В отличие от лексикографического порядка, который используется при генерации типов исполнителей объектов, здесь типы объектов, входящих в ситуацию, упорядочиваются по их положению в дереве объектов (4). Порядковый номер класса определяется номером ресурса, доминирующего в этом классе, согласно списку выходных ресурсов ОПР, а порядковый номер ситуации в пределах класса задается ее предпочтительностью . Оптимальная достаточная ситуация данного класса получает номер 1. Абсолютной шкалой классификации ситуаций естественно считать их классификацию по глобальному критерию качества, то есть по принадлежности к тому или иному классу ситуаций, обеспечивающих доминирование одного из выходных параметров глобального объекта СКМ по обобщенным затратам , которые рассчитаны по критерию качества ОПР этой достаточной ситуации. Первым ключом при построении типа ситуации выбран ее порядковый номер в пределах класса, затем идет номер ОПР, затем - индексы типов списка листьевых объектов, а в конце - номер класса. Описанный порядок индексации использован для удобства формирования запросов типа: «Найти среди оптимальных достаточных ситуаций некоторого заданного уровня ситуацию, составляющую подграф такой-то глобальной оптимальной ситуации», которые типичны при решении задач координации управлений на различных уровнях принятия решений.

Задача обобщения описаний ситуаций в ССМ на основе типов ситуаций включает два основных этапа: поиск общих признаков ситуаций, попавших в один класс для каждого исследованного фрагмента КМПО, и поиск вхождений ситуаций в ситуации более высоких уровней (высота уровня здесь задается уровнем нахождения ОПР). Общая схема рассуждений при обобщении вполне вписывается в идеологию ДСМ-метода . Однако программная реализация ДСМ-метода в ССМ потребовала бы весьма значительных объемов программирования, поэтому был применен вероятностный механизм вывода, реализованный в оболочке ОЭС ССМ , то есть вместо оценок обоснованности тех или иных гипотез, вычисляемых согласно ДСМ-методу, использованы специальные функции пересчета условных вероятностей причинно-следственных связей между конфигурациями достаточных ситуаций и результатами их классификации.

Как следует из изложенного способа типизации ситуаций в ССМ, описания достаточных ситуаций, классифицированных по одному фрагменту КМПО, качественно различаются списками своих листьевых объектов, которые все вместе образуют разбиение множества листьевых объектов использованной при построении фрагмента полной ситуации. Поэтому при обобщении их описаний в основном применяются метод сходства и метод различия, причем в качестве предпосылок используются подстроки конкатенации типов листьевых объектов. Результаты обобщения формируются в виде двух наборов правил, в первый включаются положительные примеры, во второй - отрицательные. По формулам, аналогичным пересчету априорных вероятностей в апостериорные , наличие положительных примеров приводит к повышению условной вероятности соответствующего правила, причем степень увеличения пропорциональна порядковым номерам ситуаций, использованных в данном примере, а наличие отрицательных примеров в той же степени уменьшает условную вероятность правила. После окончания первого этапа обобщения отбраковываются правила с вероятностью меньше 0.5.

На втором этапе обобщения отыскивается сходство между ситуациями различных уровней. Применяется тот же механизм обобщения, но синтезируемые правила отражают условные вероятности появления достаточных ситуаций нижних уровней декомпозиции в составе достаточных ситуаций более высоких уровней и, в частности, глобальных достаточных ситуаций путем оценки частости вхождения типов нижележащих ситуаций в типы вышележащих. Таким образом делается попытка сопоставить между собой классы ситуаций, составленные для ОПР различных уровней, что при достаточном количестве обучающих примеров позволяет составить

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

иерархическую классификацию достаточных ситуаций с указанием ситуаций, оптимальных для перевода объекта в некоторое состояние из заданного класса.

Еще одна группа правил ориентирована на оценку эффективности заложенных в КМПО альтернатив. Идея поиска заключается в следующем: степень эффективности той или иной альтернативы (как для процессов, так и для объектов) тем выше, чем шире набор классов ситуаций, в которые попадают достаточные ситуации с различными вариантами данной альтернативы. И обратно: если ни один из имеющихся вариантов выбора не меняет класс достаточной ситуации, то данная альтернатива не предлагается пользователю при расширении минимальных полных ситуаций, по крайней мере, для того же самого ОПР, что позволяет ускорить процесс классификации ситуаций. С другой стороны, желательно уметь заранее определять тот набор свойств, которыми обладают самые «радикально действующие» альтернативы, а точнее, несколько наборов - для каждого потенциально желательного варианта изменения областей доминирования.

Все полученные в ходе обобщения правила (по терминологии ситуационного управления они относятся к логико-трансформационным правилам) хранятся в ЭС ССМ и используются как управляющие формулы в процессе классификации ситуаций. Следует отметить еще одну особенность разработанного вероятностного механизма вывода - возможность снизить влияние погрешностей исходных данных на результаты обобщения ситуаций путем учета вероятности ошибочного отнесения ситуации к тому или иному классу. Рассмотрим основную идею его применения для повышения достоверности обобщения ситуаций.

При классификации достаточных ситуаций некоторого фрагмента СКМ могут возникать ошибки из-за структурной неустойчивости процесса вычисления затрат при их передаче между элементами модели. Например, если в КМПО допускаются циклы по ресурсам, то при изменении текущего значения какого-либо участвующего в цикле ресурса класс достаточной ситуации, где рассчитываются затраты по этому ресурсу, может значительно измениться, что, по мнению автора, нарушает устойчивость процедур классификации и обобщения. Такие ситуации предлагается отбраковывать из процедур обобщения, для чего в ССМ рекомендуется применять процедуры проверки зависимости результатов от возможных погрешностей моделирования. Если при анализе влияния погрешностей моделирования для некоторого ресурса СКМ выявлено превышение доли изменения затрат на выходе ОПР по сравнению с долей тестового изменения текущего значения ресурса, такой ресурс рассматривается как недостоверный, вероятность сбоя при его использовании для классификации принимается пропорциональной степени упомянутого превышения. Если вероятность сбоя превышает заданное пороговое значение (по умолчанию используется пороговая вероятность 0.3), то данный ресурс исключается из процедур классификации. В противном случае классификация ситуаций все же проводится, но с учетом вероятности сбоев, что в принципе приводит к снижению контрастности процедур классификации и, как следствие, к снижению вероятности включения ситуаций с участием недостоверного ресурса в категорию оптимальных или весьма предпочтительных.

Анализ пространственно-временных зависимостей. Работа с пространственно-временными зависимостями осуществляется с помощью библиотеки пространственно-временных функций (ПВФ) - программных модулей, обеспечивающих выборку из соответствующих баз исходных данных (БИД) релевантной информации для текущего запроса, занесение этой информации в основную БД и ее обработку для принятия решения об истинности или ложности условия, формирующего запрос. Поэтому в общем случае программа каждой ПВФ включает три части: драйвер БИД, организующий интерфейс основной БД и БИД, программу записи результатов запроса в основную БД и программу интерпретации результатов запроса. При этом изменение предметной области приводит к необходимости модифицировать только драйверы БИД.

Все ПВФ имеют выход логического типа, то есть возвращают ответ «да» или «нет» в результате анализа входящего в них логического условия. Разработаны два вида временных и три вида пространственных функций.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

Временная функция ИНТЕРВАЛ поддерживает выборку ретроспективных данных за некоторый промежуток времени, ее синтаксис таков:

в_течение (<условие>,<начало>,<конец>,<доля>), (19)

где <условие> может иметь вид:

<имя> <знак> <подсписок_значений (n)>, (20)

оно определяет контролируемую характеристику элемента массива;

<начало> и <конец> задают соответственно начальный и конечный моменты интервала проверки (их отстояние в прошлое от текущего момента времени);

<доля> определяет минимальный допустимый процент (количество) элементов среди всех анализируемых, которые должны удовлетворять <условию>, чтобы функция (19) дала утвердительный ответ на запрос.

Если введено нулевое значение параметра <начало>, проводится анализ всей имеющейся информации до момента времени <конец>. Аналогично, при нулевом значении параметра <конец>, анализируются данные от момента <начало> до текущего момента времени. При совпадении величин <начало> и <конец> рассматривается только один момент времени в прошлом.

Следующая функция позволяет провести временную привязку хранимых данных

к заданному в запросе моменту времени:

момент (<условие>,<время>,<доля>), (21)

где <условие> и <доля> формируются аналогично функции (19), а <время> - фиксированный момент времени, для которого производится операция.

Пространственные функции записываются в форме:

соседние (<условие>,<доля>) (22)

сходные (<условие>,<доля>,<параметры_сходства>). (23)

Параметры <условие> и <доля> задаются как в функциях (19), (21); различие между видами пространственных функций заключается в критерии отбора элементов для совместного анализа: в функции (22) анализируются элементы, примыкающие к текущему геометрически, в функции (23) отбираются элементы, имеющие одинаковые с текущим элементом значения <параметров_сходства>, выбираемых из списка имен существующих параметров и переменных. Например, в приложении ССМ к задаче прогнозирования горных ударов <параметр_сходства> имел имя «разлом» и использовался для совместного анализа характеристик элементов объекта, принадлежащих к тектоническому разлому.

Функция БЛИЖАИШИИ предназначена для определения объекта, имеющего наиболее близкие пространственные координаты к заданным. Функция возвращает утвердительный ответ, если координаты объекта попадают в заданную окрестность. Функция имеет следующий вид:

ближайший (<условие>,<координаты>,<допуск>), (24)

где параметр <условие> имеет уже описанный смысл, параметр <координаты> описывает пространственные характеристики точки привязки, параметр <допуск> задает допустимое удаление по пространственным координатам от указанной точки.

ПВФ можно использовать только в частях ЕСЛИ правил и управляющих формул ЭС. Так как все ПВФ имеют выход логического типа, допускается однократная вложенность различных ПВФ друг в друга, то есть запросы вида

соседние (сходные (<условие>,<доля1>,<параметры_сходства>),<доля2>). (25)

При этом драйвер БИД генерирует запрос, по которому вначале отбираются элементы, удовлетворяющие самой внутренней ПВФ, затем из них отбираются удовлетворяющие более внешней, и т.д. Характеристики отобранных элементов переписываются в БД (эта информация используется в режиме объяснения), интерпретатор вычисляет выходное значение ПВФ, которое заносится в базу правил. Вложенные запросы представляют наибольший интерес, так как

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

позволяют путем комбинирования ПВФ оценивать совместно пространственные и временные характеристики исследуемого объекта.

Описанные выше ПВФ обеспечивают анализ достаточно широкого класса

пространственно-временны"х соотношений между характеристиками элементов объекта экспертизы, однако в зависимости от специфики предметной области возможна разработка и других ПВФ.

В отличие от правил, генерируемых при обобщении ситуаций по их типам, правила обобщения рассматриваемой здесь группы относятся не к ситуации в целом, а к отдельным объектам, процессам или даже ресурсам СКМ. В слоты ПВФ <условие>

и <параметры_сходства> можно включать логические условия и различные характеристики элементов СКМ, в том числе типы и категории этих элементов. В ССМ не предусмотрено автоматических процедур генерации подобных правил, они конструируются пользователем, и вероятности в них пересчитываются в ходе классификации аналогично изложенному выше.

Заключение

На основе введенных формальных определений различных видов ситуаций, возникающих при моделировании СДО, разработана его иерархическая модель, включающая: формальную систему - СКМ и интегрированную с ней ЭС - со множеством базовых элементов (7)-(10), набором синтаксических правил порождения одних элементов СКМ другими в виде отношений типа (7), (8), системой аксиом (15), (16) и правилами вывода (17), (18), а также правила изменения компонентов этой формальной системы в зависимости от целей моделирования и сложившейся на объекте исследования ситуации, задаваемые посредством выбора соответствующих фрагментов СКМ и управления выводом в ЭС ССМ. СКМ относится к семиотическим (знаковым) моделям, поскольку в ней разработаны три группы логикотрансформационных правил - пополнения, классификации и обобщения ситуаций.

Отличия предложенной модели состоят в интеграции средств, ориентированных на исследование СДО, что обеспечивает совместную логико-аналитическую обработку данных и ситуационный анализ состояния изучаемого объекта с применением экспертных знаний и учетом пространственно-временных зависимостей в характеристиках СДО, выполняемых с использованием картографической информации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин И.А., Путилов В.А., Фильчаков В.В. Распределенная обработка информации в научных исследованиях. Л.: Наука, 1991. 304 с. 2. Цикритзис Д., Лоховски Ф. Модели данных. М.: Финансы и статистика, 1985. 420 с. 3. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 288 с. 4. Бржезовский А.В., Фильчаков В.В. Концептуальный анализ вычислительных систем. СПб.: ЛИАП, 1991. 78 с. 5. Фридман А.Я. Ситуационное управление структурой промышленно-природных систем. Методы и модели. Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. 530 с. 6. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. М.: Наука, 1986. 288 с. 7. Митчел Э. Руководство ESRI по ГИС-анализу. 1999. Т. 1. 190 с.

8. Концептуальное моделирование информационных систем / под ред. В.В. Фильчакова. СПб.: СПВУРЭ ПВО, 1998. 356 c. 9. Автоматическое порождение гипотез в интеллектуальных системах / сост. Е.С. Панкратова, В.К. Финн. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. 528 с. 10. Darwiche A. Modeling and Reasoning with Bayesian Networks. Cambridge University Press, 2009. 526 p.

Фридман Александр Яковлевич - д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник Института информатики и математического моделирования КНЦ РАН; e-mail: fridman@iimm. kolasc.net.ru

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)